2016　金沢大学　前期理工，医薬保健学域MathJax

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2016　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域

易□　並□　難□

【１】　数列 ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ は

${\begin{cases} a_{1} = b_{1} = 2 ， \\ a_{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4} a_{n} - \frac{\sqrt{6}}{4} b_{n} ， b_{n + 1} = \frac{\sqrt{6}}{4} a_{n} + \frac{\sqrt{2}}{4} b_{n} \\ （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \end{cases}$

を満たすものとする． $a_{n}$ を実部とし $b_{n}$ を虚部とする複素数を $z_{n}$ で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $z_{n + 1} = w z_{n}$ を満たす複素数 $w$ と，その絶対値 $| w |$ を求めよ．

(2)　複素数平面上で，点 $z_{n + 1}$ は点 $z_{n}$ をどのように移動した点であるかを答えよ．

(3)　数列 ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　複素数平面上の $3$ 点 $0 ， z_{n} ， z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を $T_{n}$ とする．このとき，複素数平面上で $T_{1} ， T_{2} ， \dots ， T_{n} ， \dots$ によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

（編注）2025年名古屋市立大学　中期薬学部【２】で改変して活用

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【２】　曲線 $C ： x^{2} + 4 y^{2} = 4$ 上を動く点 $P$ と， $C$ 上の定点 $Q (2, 0) ， R (0, 1)$ がある．次の問いに答えよ．

(1)　 $▵ PQR$ の面積の最大値と，そのときの $P$ の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた点 $P$ に対して直線 $PQ$ を考える．曲線 $C$ によって囲まれた図形を直線 $PQ$ で $2$ つに分けたとき，直線 $PQ$ の下方にある部分の面積を求めよ．

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【３】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式 $25 x + 9 y = 1$ の整数解をすべて求めよ．

(2)　方程式 $25 x + 9 y = 33$ の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち， $| x + y |$ の値が最小となるものを求めよ．

(3)　 $2$ つの方程式 $25 x + 9 y = 33 ， x y = - 570$ を同時に満たす整数解をすべて求めよ．

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【４】　 $a ， b$ を実数とする． $f (x) = 2 \sqrt{1 + x^{2}} - a x^{2}$ とし， $x$ についての方程式 $f (x) = b$ を考える．次の問いに答えよ．

(1)　 $a > 0$ のとき，関数 $f (x)$ の最大値を求めよ．

(2)　方程式 $f (x) = b$ の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 $(a, b)$ の範囲を図示せよ．

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