2015　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CA}=4$とする．$\mathrm{\angle A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{\angle B}$の二等分線が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$を線分$\mathrm{AP}$で折り曲げて$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする四面体を作る．このようにしてできる四面体の体積の最大値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は$a_n>0$であり，次の関係式を満たしているとする．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2=1\\ a_{n+1}{a_{n-1}}^2=9{a_n}^3& \text{（}n\geqq 2\text{）}\end{array}$

以下の問に答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4$の値を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_3{a}_n$で定める．さらに，数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$と定めるとき，$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}\text{，}$$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【３】　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$は，はじめ原点$(0,0)$にあり，以下の規則に従って移動する．

　以下の問に答えよ．ただし解答では硬貨を投げた結果は，$\mathrm{O}$は表，$\mathrm{U}$は裏として$(\mathrm{O},\mathrm{U},\mathrm{O},\mathrm{O})$のように表せ．この例では$1$回目は表，$2$回目は裏，$3$回目は表，$4$回目も表が出たことを意味するものとする．

(1)　硬貨を$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が取りうる座標をすべて答えよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が座標$(3,3)$に達するのは，硬貨を投げた結果がどのような場合か，すべて答えよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が座標$(4,6)$に達するとき，硬貨を投げた結果は全部で何通りあるか．

(4)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の移動した道のりが$16$以上になる確率を求めよ．

【４】　$a\geqq 1$とする．$x$の関数

$f(x)=e^{-x}\{x^2-(a-3)x-(2a-3)\}$

を考える．以下の問に答えよ．なお，必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$k$を正の実数とする．方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-x}\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-x}\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　$\underset{b\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^b}f(x)\mathit{dx}=0$を満たすように$a$の値を定めよ．

【５】　$c>0$とし，$xy$平面上で曲線

$C_0\text{：}\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=c^2$$\text{（}x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{）}$

を考える．曲線$C_0$上の点$(a,b)$$\text{（}ab\ne 0\text{）}$における接線を$l$とし，$l$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた中点$\mathrm{M}$と原点の距離が接点$(a,b)$によらず一定であることを証明せよ．

(4)　曲線$C_0$の媒介変数表示

$\{\begin{array}{c}x=c^3{\sin }^3\theta \\ y=c^3{\cos }^3\theta \end{array}$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を用いて，曲線$C_0$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．