2014　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$のとき$x^2+y^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(2)　$x=1+\sqrt{2}i$が方程式$x^3+ax-b=0$の解であるとき，実数$a$と$b$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(3)　$x^2+y^2=1$のとき$x+y^2$の最大値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(4)　$2^x=5$のとき，${\displaystyle \frac{2^{3x}-2^{-3x}}{2^x-2^{-x}}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　$2^{2024}$の桁数を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(6)　次の$$に適語を入れなさい．

　ある命題を証明するとき，「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる．したがって，その命題は成り立たなければならない．」とする論法がある．この論法を$$という．

【２】　次の定理について以下の各問いに答えなさい．

定理：$\mathrm{▵ABC}$の$\mathrm{\angle A}$の二等分線と対辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とすると，

$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$

(1)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=4$のとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(2)　この定理を証明しなさい．

【３】　$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の長さがそれぞれ$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=2$である$\mathrm{▵OAB}$がある．$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，さらに線分$\mathrm{CG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とすると，$2$直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{OQ}$は直交している．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として以下の各問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の内積の値を求めなさい．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを求めなさい．

【４】　関数$f(x)=x^3-3x$について，以下の各問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の極大値と，そのときの$x$の値を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(2,2)$における接線の方程式を求めなさい．

(3)　(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(5)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin 2x}{x}}$を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．答えのみ解答欄に書きなさい．

(6)　${\displaystyle {\int }_0^x}9\cos 3\theta \mathit{d\theta }$を求めなさい．

【４】　関数$f(x)=e^x-3\text{，}$$g(x)=-{\displaystyle \frac{2}{e^x}}$について，以下の各問いに答えなさい．途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めなさい．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めなさい．