2014　埼玉大学　前期（理，工学部）MathJax

(1)　$1\leqq r\leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，${}_{p}C_r$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，${}_{p}C_r$は$p$個から$r$個とる組合わせの総数を表すものとする．

(2)　$1\leqq s\leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,s)$であって，${}_{q}C_s$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．

(3)　自然数$m\text{，}n$に対し，${(m+n)}^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．

(4)　自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

(a)　$(x,y)$から$(x,y+1)$に移動させる．

(b)　$(x,y)$から$(x+1,y+1)$に移動させる．

(c)　$(x,y)$から$(x-1,y+1)$に移動させる．

(d)　$(x,y)$から$(x-1,y-1)$に移動させる．

(e)　$(x,y)$から$(x+1,y-1)$に移動させる．

最初に駒「銀」は原点$(0,0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$回の操作の後，駒が$(1,1)$にある確率を求めよ．

(2)　$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．

(3)　$n$回の操作の後，駒が$(n-1,0)$にある確率を求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における接線を$l_1\text{，}$法線を$l_2$とし，原点$(0,0)$と$l_1\text{，}{l}_2$との距離をそれぞれ$d_1\text{，}{d}_2$とおく．$d_1\text{，}{d}_2$を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)で定めた$d_1\text{，}{d}_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

(1)　$f^{\prime }(\theta )=0$であるとき，$\sin 2\theta =\sin (\theta -t)$が成り立つことを示せ．

(2)　$f^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．

(4)　$t$を(3)で求めた値とする．このとき，$f^{\prime }(\theta )=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(1)　すべての自然数$n$に対し，$a_n>2$であることを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-2}}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$x=\sqrt{\cos 2\theta }\cos \theta \text{，}y=\sqrt{\cos 2\theta }\sin \theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

と表される曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,q)$とする．$(p,q)$を求めよ．

(2)　曲線$C$で囲まれた図形のうち$x\geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は(1)で求めた$x$座標である．