2011　防衛大学校　記述式

【１】　関数$f(x)=4^x-2^{x+3}-2^{-x+3}+4^{-x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　$2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$L\text{：}y=x-1$がある．$L$上の点$\mathrm{A}$$(a,a-1)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C$上の点$(t,t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m\text{，}$$k$を$t$の式で表せ．

(2)　$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$a$の式で表せ．

(3)　放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，${\displaystyle \frac{S(a)}{\beta -\alpha }}$を$a$の式で表せ．

【３】　右の図のような格子状の道および斜めの道がある．次の場合の最短経路は何通りあるか．ただし，小さいマス目はすべて合同な正方形とする．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く．

(2)　$\mathrm{A}$から斜めの道を通らずに$\mathrm{B}$まで行く．

(3)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$まで行く．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$内に

$6\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

をみたす点$\mathrm{P}$があるとき，次の問に答えよ．ただし，比は最も簡単な整数の比で表せ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=m\overrightarrow{\mathrm{AB}}+n\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$m\text{，}$$n$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，比$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$を求めよ．

(4)　面積の比$\mathrm{▵PDC}:\mathrm{▵PCE}$を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\cos 2t\cos 4t\mathit{dt}$の値を求めよ．

(2)　次の等式が$t$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を定めよ．

${\sin }^{4}t{\cos }^{2}t=a+b\cos 2t$$+c\cos 4t$$+d\cos 2t\cos 4t$

(3)　$x={\cos }^{3}t$とおいて，定積分$J={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}\mathit{dx}$の値を求めよ．