2011　防衛大学校　理工系マークセンス式

【１】　$2^{{\log }_{4}3}=4^{{\log }_{2}a}$であるとき，$a$の値は次のどれか．

$\text{(1)}\sqrt[4]{3}$$\text{(2)}\sqrt{3}$$\text{(3)}9$$\text{(4)}81$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【２】　$x>0\text{，}$$y>0$で，$x{y}^3=4$のとき，$({\log }_{2}x)({\log }_{2}y)$の最大値は次のどれか．

$\text{(1)}-{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{(2)}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【３】　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$のとき，$2x^3-7x^2-5x+6$の値は次のどれか．

$\text{(1)}-1-3\sqrt{3}$$\text{(2)}-1+3\sqrt{3}$$\text{(3)}1-3\sqrt{3}$$\text{(4)}1+3\sqrt{3}$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【４】　$y={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$の逆関数のグラフを$x$軸方向に$1\text{，}$$y$軸方向に$-2$平行移動した曲線をグラフとする関数は次のどれか．

$\text{(1)}y={\displaystyle \frac{3x}{x-1}}$$\text{(2)}y={\displaystyle \frac{4-x}{x-1}}$$\text{(3)}y={\displaystyle \frac{3x-6}{x-3}}$$\text{(4)}y={\displaystyle \frac{6-x}{x-3}}$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【５】　$\mathrm{\angle A}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=8$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AD}$の長さは次のどれか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{24\sqrt{3}}{7}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{48\sqrt{3}}{5}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{31\sqrt{3}}{9}}$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【６】　数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+2^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$をみたすとき，$a_{10}$の値は次のどれか．

$\text{(1)}5120$$\text{(2)}5232$$\text{(3)}5450$$\text{(4)}5762$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【７】　$f(x)=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\sin x)$のとき，$f^{\prime }(0)$の値は次のどれか．

$\text{(1)}0$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$\text{(4)}1$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【８】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，曲線$y=|\sin x|$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積は次のどれか．

$\text{(1)}\pi -2$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{(4)}\pi -1$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【９】　不等式$x^2+y^2\leqq 2\text{，}$$y\geqq 1$の表す領域の面積は次のどれか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{3\pi }{16}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{5\pi }{16}}$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【10】　定積分${\displaystyle {\int }_{-3}^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2+3}}$の値は次のどれか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}\pi$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\pi$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\pi$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\pi$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【11】　等式$f(x)=x+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)e^{-t}\mathit{dt}$をみたす関数$f(x)$は次のどれか．

$\text{(1)}x-e+2$$\text{(2)}x+e-2$$\text{(3)}x-e-2$$\text{(4)}x+e+2$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【12】　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{{\displaystyle \frac{n+3k}{n^3}}}$の値は次のどれか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{14}{3}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{14}{9}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{(4)}14$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【13】　$f(x)=\cos x+{\cos }^{2}x$$+\cdots$$+{\cos }^{n}x+\cdots$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$とするとき，極限$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^{2}f(x)$の値は次のどれか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(3)}1$$\text{(4)}2$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【14】　$2\text{，}$$3\text{，}$$7\text{，}$$11$の$4$個の数から相異なる$2$個以上の数を取って，それらの積を作るとき，得られる相異なる数の個数は次のどれか．

$\text{(1)}9$$\text{(2)}10$$\text{(3)}11$$\text{(4)}12$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$

【15】　$f(x)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^{\log x}}{e}^{t^2}\mathit{dt}$のとき，$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)$の値は次のどれか．ただし，$\log x$は自然対数とする．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{e}}$$\text{(3)}e$$\text{(4)}{e}^2$$\text{(5)}\text{上のどれでもない．}$