2011　国立看護大学校　入学選抜試験

【１】(1)　和が$90\text{，}$最大公約数が$15$であるような$2$つの正の整数$A\text{，}$$B$は$A<B$として

$A=\text{アイ}\text{，}$$B=\text{ウエ}$

である．

【１】(2)　不等式$x^2-ax+b<0$の解が$1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき

$a={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$

である．

【１】(3)　$6$人を$2$人ずつ$3$つの組に分ける方法は$\text{ケコ}$通りである．

【１】(4)　$x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}$のとき

$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=\text{サ}\text{，}$$x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=\text{シス}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数として関数

$f(x)=3a{(x^2+4x+2)}^2$$+b(x^2+4x+2)-a$$\text{（}ab>0\text{）}$

が与えられている．

(1)　$x$が$x\geqq 0$の範囲で変化するとき，$x^2+4x+2=t$とおくと$t$のとり得る値の範囲は$t\geqq \text{ア}$である．また，このとき$f(x)$が最小値$15$をとり，$f(1)=160$であるならば

$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}$

である．

(2)　(1)の$a\text{，}$$b$に対して$x$のとり得る値の範囲を$-5\leqq x\leqq 0$とすると，$f(x)$は

最大値：$\text{エオカ}\text{，}$最小値：$-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$

をとり，方程式$f(x)=0$の解のうちで最大のものは${\displaystyle \frac{-\text{ケ}+\sqrt{\text{コサ}}}{\text{シ}}}$である．

【３】(1)　正しいさいころ$1$個を$1$回振って出た目の数を$x$とする．

(ⅰ)　$x$が$3$で割り切れる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$3$で割って$1$余る確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\text{，}$$3$で割って$2$余る確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

(ⅱ)　$x^2$が$3$で割り切れる確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\text{，}$$3$で割って$1$余る確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\text{，}$$3$で割って$2$余る確率は$\text{サ}$である．

(2)　正しいさいころ$1$個を続けて$3$回振る試行で，$i$回目$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$に出る目の数を$x_i$とする．このとき

(ⅰ)　$x_1+x_2+x_3$が$3$で割って$1$余る確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$である．

(ⅱ)　${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$が$3$で割って$1$余る確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{BC}$の長さが$1\text{，}$辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さの和が$3$である．このとき辺$\mathrm{AB}$の長さを$x\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とおく．

(1)　$x$のとり得る値の範囲は$\text{ア}<x<\text{イ}$である．

(2)　(1)の条件のもとで$S^2$を計算すると

$S^2=-\text{ウ}{x}^2+\text{エ}x-\text{オ}$

となるので，$S$は$x={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$をとる．

【５】　$k$を正の整数として$2$次方程式

$11x^2+2kx+3=0$$\cdots \text{①}$

が与えられている．

　方程式$\text{①}$の解は，解の公式より

$x={\displaystyle \frac{-\text{ア}k\pm \sqrt{k^2-\text{イウ}}}{\text{エオ}}}$

これが有理数であるならば，根号の中が平方数でなければならない．

　そこで，これを$l^2$$\text{（}l$は整数）などとおいて調べると$k$の値は

$k_1=\text{カ}\text{，}$$k_2=\text{キク}$

と定まり，$\text{①}$の解は

$k=k_1$のとき：$x=-\text{ケ}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サシ}}}$

$k=k_2$のとき：$x=-\text{ス}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタ}}}$

となって，確かに有理数の解をもつ．

【６】(1)　$1$から$100$までの整数の中に

$2$の倍数は$\text{アイ}$個

$4$の倍数は$\text{ウエ}$個

$8$の倍数は$\text{オカ}$個

$16$の倍数は$\text{キ}$個

$32$の倍数は$\text{ク}$個

$64$の倍数は$\text{ケ}$個

あるので，$100!=(2m-1)\times 2^n$$\text{（}m\text{，}$$n$は正の整数）と表すと$n=\text{コサ}$である．

(2)　$5\times 2=10$に注意して$100!$を計算すると，その末尾には$0$が$\text{シス}$個つく．

(3)　同様に$1234!$を計算すると，その末尾には$0$が$\text{セソタ}$個つく．

　ただし，$k!=1\times 2\times \cdots \times k$とする．