2011　防衛医科大学校　医学科記述式

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は正の整数で，$a<b<c\text{，}$$a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$a{x}^2-(a^2+ab)x$$+a^{2}b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,b,c)$の組があればすべて求めよ．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　$\alpha =1+\sqrt{3}i\text{，}$$\beta =1-\sqrt{3}i$のとき

${\left({\displaystyle \frac{{\beta }^2-4\beta +8}{{\alpha }^{n+2}-{\alpha }^{n+1}+2{\alpha }^n+4{\alpha }^{n-1}+{\alpha }^3-2{\alpha }^2+5\alpha -2}}\right)}^3$

はいくらか．ただし，$n$は$2$以上の自然数，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問に答えよ．

(3)　$y=\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$における，$f(x)$の第$2$次導関数の値$f^{″}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$はいくらか．

【２】　$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の$6$つの数字を重複せずに用いて，$n$桁の整数を作る$\text{（}n\leqq 6\text{）．}$このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$n=3\text{，}$すなわち$3$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$5$にならないような整数はいくつできるか．

(2)　$n=4\text{，}$すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$3$にならないような整数はいくつできるか．

(3)　$n=4\text{，}$すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和が$5$になる箇所が$2$つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．

【３】　$xyz$空問の$3$点$\mathrm{A}$$(5,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(5,0,\sqrt{2})$が定める平面を$T\text{，}$$T$上にあって点$\mathrm{A}$を中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$は円$U$の周上にある．$\mathrm{\angle PAB}=\theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とするとき，$\mathrm{P}$の座標$(u,v,r)$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{D}$$(10,0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線が$yz$平面と交わる点を$\mathrm{Q}$$(0,Y,Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　(2)の$Y\text{，}$$Z$から$\theta$を消去して，$\mathrm{Q}$の軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

【４】　数列

$1^{0.01},$$2^{0.02},$$2^{0.02},$$3^{0.03},$$3^{0.03},$$3^{0.03},$$4^{0.04},$$4^{0.04},$$4^{0.04},$$4^{0.04},$$5^{0.05},$$\cdots ,$${(n-1)}^{\frac{n-1}{100}},$$\underset{\underset{n\text{個}}{⏟}}{n^{\frac{n}{100}},\cdots ,n^{\frac{n}{100}}},$${(n+1)}^{\frac{n+1}{100}},\cdots$

について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　第$36$項はいくらか．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^2{\log }_{e}x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　第$1$項から第$36$項までのすべての頃の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<{\log }_{e}8<2.1\text{，}$$2.1<{\log }_{e}9<2.2\text{，}$$2.30<{\log }_{e}10<2.31$である．