2011　防衛医科大学校　医学科択一式

【１】　$a$が正の実数であるとき，$|x+1|+2|x-a|\leqq 10$を満たす実数$x$の集合が$-1$を含まず$a$を含むことと，$a$が$\alpha <a\leqq \beta$を満たすこととが同値となる．このとき，$\alpha +\beta$はいくらか．

$\text{(1)}12$$\text{(2)}13$$\text{(3)}14$$\text{(4)}15$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】　放物線$C\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+4x+k$$\text{（}k>0\text{）}$の，点$\mathrm{P}$$(2,6+k)$における接線を$l$とする，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする$\text{（}\mathrm{R}$の$x$座標は$\mathrm{S}$の$x$座標より小さいものとする）．原点を$\mathrm{O}$として，$\mathrm{▵PRS}$の面積が$\mathrm{▵PQO}$の面積の$2$倍になるような$k$の値はいくらか．

$\text{(1)}10$$\text{(2)}12$$\text{(3)}14$$\text{(4)}16$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】　点$\mathrm{P}$は放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の点であるとする．点$\mathrm{Q}$を$(0,-k)$$\text{（}k>0\text{），}$点$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の足を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{\angle QPR}=\theta$とし，点$\mathrm{P}$を$C$上で動かしたとき，$\tan \theta$の最大値が${\displaystyle \frac{1}{6}}$となるように$k$を定めよ．

$\text{(1)}24$$\text{(2)}30$$\text{(3)}36$$\text{(4)}42$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　赤玉が$3$個，白玉が$3$個，計$6$個の玉が入っている袋から玉をでたらめに$1$個ずつ取り出していき，赤玉を$2$個取り出したとき，玉の取り出しを終了する．ここで，取り出した玉は袋に戻さないものとする．このとき，終了するまでに取り出した白玉の個数の期待値はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{6}{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【５】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$である$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{\angle A}=\theta$とし，$\mathrm{AM}+\mathrm{LN}+\mathrm{BC}$を最大にする$\theta$を${\theta }_0$とする．このとき$\sin {\theta }_0$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{3}{5}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{4}{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$4$の円がある．点$(0,2)$を通る直線が，この円に切り取られる線分の長さが$2\sqrt{15}$であるとき，この直線の傾きはいくらか．

$\text{(1)}\pm \sqrt{2}$$\text{(2)}\pm \sqrt{3}$$\text{(3)}\pm \sqrt{5}$$\text{(4)}\pm \sqrt{6}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　関数$f(x)=x^3+3x^2+3px+1$が，正の極大値と負の極小値をもつための実数$p$の条件を求めよ．

$\text{(1)}p<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(2)}p<{\displaystyle -\frac{1}{4}}$$\text{(3)}p<{\displaystyle -\frac{3}{4}}$$\text{(4)}p<{\displaystyle -\frac{5}{4}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【８】　放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{A}$$(-1,1)$における$C$の法線を$l$とする．$l$と$C$の交点で，点$\mathrm{A}$ではない方を点$\mathrm{B}$とする．このとき，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれる図形の面積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{125}{48}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{125}{49}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{125}{51}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{125}{52}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【９】　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}\text{，}$$T_n=2^{n+1}{S}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．$T_n-T_{n-1}=62$となる$n$はいくらか．

$\text{(1)}6$$\text{(2)}7$$\text{(3)}8$$\text{(4)}9$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【10】　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵OAC}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{R}$から平面$\alpha$へおろした垂線の足を$\mathrm{S}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}$とする．このとき$s+t$はいくらか．ここで，$s\text{，}$$t$は実数である．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{17}{20}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{17}{22}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{17}{24}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{17}{26}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【11】　$a=\sqrt{2}-1$とすると，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}(k{\displaystyle \sum _{l=k}^{\infty }}{\displaystyle \frac{(\mathrm{l}+1)a^l+a^{l+1}-l{a}^{l+2}}{l(l+1)}})$はいくらか．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}2$$\text{(3)}3$$\text{(4)}4$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【12】　媒介変数$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$を用いて，$x=\theta -\sin \theta \text{，}$$y=1-\cos \theta$と表される曲線上の点$\mathrm{P}$$(\theta -\sin \theta ,1-\cos \theta )$における接線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値と最小値の和はいくらか．

$\text{(1)}2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{(2)}2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{(3)}4-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{(4)}4+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【13】　自然数$m\text{，}$$n$に対し，$B(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{m-1}{(1-x)}^{n-1}\mathit{dx}$とする．$B(3,3)=kB(5,1)$を満たす実数$k$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{6}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{7}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【14】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}11& -10\\ 5& -4\end{array}\right)$に対し，$A\left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)$を満たす実数$k\text{，}$$x$の組$(k,x)$は$2$組存在する．それらを$(k_1,x_1)\text{，}$$(k_2,x_2)$（ただし$k_1<k_2\text{）}$とするとき，$x_1$と$k_2$の積はいくらか．

$\text{(1)}11$$\text{(2)}12$$\text{(3)}13$$\text{(4)}14$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【15】　焦点が$\mathrm{F}$$(0,2)\text{，}$準線が$x=-6$である放物線が直線$y=14$と交わる点の$x$座標はいくらか．

$\text{(1)}8$$\text{(2)}9$$\text{(3)}10$$\text{(4)}11$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．