2011　西南学院大学　全学部

【１】

1　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{CA}=2$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AC}$上を，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く．また，$\mathrm{AP}=x\text{，}\mathrm{AQ}=y$とおく．$▵\mathrm{APQ}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{アイ}}\mathrm{°}$である．

(2)　$xy=\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　${\mathrm{PQ}}^2$の最小値は$\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$であり，${\mathrm{PQ}}^2$が最小になるとき，$\angle \mathrm{APQ}=\boxed{\text{カキ}}\mathrm{°}$である．

【１】

2　$2$つのサイコロを同時に投げるとき，

(1)　出る目の積が$6$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

(2)　出る目の和が$10$以上になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(3)　出る目の和の期待値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】

1　平面上に$2$点$\mathrm{A}(5-2\sqrt{2},1+2\sqrt{2})$と$\mathrm{B}(5+2\sqrt{2},1-2\sqrt{2})$があり，線分$\mathrm{AB}$を直径とする円を円$C$とする．

(1)　円$C$の方程式は，${(x-\boxed{\text{セ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ソ}})}^2=\boxed{\text{タチ}}$である．

(2)　円$C$の円周上に中心をもち，$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式は，

${(x-\boxed{\text{ツ}})}^2+{(y-\boxed{\text{テ}})}^2=\boxed{\text{ト}}$と

${(x-\boxed{\text{ナ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ニ}})}^2=\boxed{\text{ヌネ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ト}}<\boxed{\text{ヌネ}}$とする．　

【２】

2　同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2$である．いま$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$は直線${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$上にある．いま，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とすると，$\alpha \text{，}$$\beta$は，$\boxed{\text{ノ}}\alpha +\boxed{\text{ハ}}\beta =\boxed{\text{ヒ}}$という関係式を満たす．

(2)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とすると，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(3)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=\boxed{\text{ム}}:\boxed{\text{メモ}}$である．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，$a\ne 0$とする．$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y=a{(x-{\displaystyle \frac{b}{3}})}^2+b$

がある．いま$l$を$C_1$の接線でその傾きが$2$であるものとする．このとき以下の問に答えよ．

(1)　$l$を表す式を求めよ．

(2)　$l$が$C_2$と接しているとき，$a$を$b$で表せ．

(3)　$l$が$C_2$と接し，さらに$b=9$のときを考える．不等式$y\leqq x^2$の表す領域の中で，$l\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．