2011　西南学院大学　経済,国際文化学部Ａ日程

【１】

1　$a\text{，}b$を実数の定数とする．$x$と$y$についての連立方程式

$\{\begin{array}{l}y=|x-1|-|x-2|\\ y=a{x}^2+bx\end{array}$

について以下の問に答えよ．

(1)　$a=0\text{，}b=0$のとき，解の組は$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},\boxed{\text{ウ}})$である．

(2)　$a=0$のとき連立方程式の解の組$(x,y)$が$3$個あるのは，$\boxed{\text{エ}}<b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のときである．

(3)　$b=0$のとき連立方程式の解の組$(x,y)$が$2$個あるのは，$a<\boxed{\text{キ}}$または$\boxed{\text{ク}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のときである．

【１】

2　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(2)　$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$であるから，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$である．

【２】

1　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{ABP}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)　この外接円の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi$である．

(2)　線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}-\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【２】

2　以下の計算をせよ．

(1)　${\log }_{10}{50}^{6-{\log }_{2}1024}=\boxed{\text{マ}}{\log }_{10}2-\boxed{\text{ミ}}$

【２】

2　以下の計算をせよ．

(2)　$\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{-250}-\sqrt[3]{-16}=\boxed{\text{ム}}$

【２】

2　以下の計算をせよ．

(3)　$a$は正の実数とする．$a^x-{\displaystyle \frac{1}{a^x}}=\sqrt{5}$のとき$a^x+{\displaystyle \frac{1}{a^x}}=\boxed{\text{メ}}$である．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　${25}^3$を計算して，その答えを$A\times {10}^3+625$の形に表したとき，$A$の値を求めよ．ただし，$A$は$0$以上の整数とする．

(2)　$2$以上の自然数$n$に対して，${25}^n$の下$3$桁は$625$になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　${25}^{25}$の下$4$桁の数値を求めよ．