2011　西南学院大学　文学部Ａ日程

【１】

1　実数$p\text{，}q$が$p+q=\sqrt{6}\text{，}p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，

$p^2+q^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}pq={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　また，$p$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とすると，

$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}{(b+{\displaystyle \frac{5}{2}})}^{-1}={\displaystyle \frac{5+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{5}}$

である．

【１】

2　実数$x$に対し，全体集合を$\mathrm{U}=\{x|0\leqq x\leqq 9\}$とする．$\mathrm{U}$の部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対して，

$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\{x|2\leqq x\leqq 3\}\text{，}$

$\bar{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B}=\{x|3<x\leqq 8\}\text{，}$

$\bar{\mathrm{A}}\cap \bar{\mathrm{B}}=\{x|8<x\leqq 9\}\text{，}$

であるとき，

$\mathrm{A}=\{x|\boxed{\text{ケ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{コ}}\}\text{，}$

$\mathrm{B}=\{x|\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}\}\text{，}$

$\overline{\mathrm{A}\cap \stackrel{‾}{\mathrm{B}}}=\{x|\boxed{\text{ス}}\leqq x\leqq \boxed{\text{セ}}\}\text{，}$

である．

【２】

1　$\theta$の方程式について，以下の問に答えよ．

(1)　$k$は実数とし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．${\cos }^2\theta -2\sin \theta =k$を満たす$\theta$が存在するとき，$-\boxed{\text{ソ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{タ}}$である．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta +\sin 3\theta =\cos \theta +\cos 3\theta$の解は，$\theta$の小さい順に$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi$である．

【２】

2　$n$は自然数とする．$x$の$1$次関数$f_n(x)=a_{n}x+b_n$が次の関係式

$f_1(x)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$

$x{f}_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{15}{3}}{x}^2+7x+{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt$

を満たすとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f_2(x)=\boxed{\text{ヌ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$は，漸化式$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヒ}}}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}{b}_{n+1}=b_n+\boxed{\text{マ}}$を満たす．

(3)　一般に$f_n(x)$は$f_n(x)=\{-9{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ミ}}}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ムメ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\}x+\boxed{\text{ヤ}}n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユヨ}}}{3}}$である．

【３】　$n$は$3$以上の整数とする．周の長さが等しい正$n$角形と円では，どちらの面積が大きいかを調べたい．以下の問に答えよ．

(1)　$n=4$の場合を考える．すなわち周の長さが等しい正方形と円では，どちらの面積が大きいかを調べよ．

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とし，半径$R$の円を考える．この円周上に二つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とする．点$\mathrm{A}$における円の接線と点$\mathrm{B}$における円の接線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，三角形$\mathrm{OAP}$の面積と三角形$\mathrm{OBP}$の面積の和を$R$と$n$を用いて表せ．また扇形$\mathrm{OAB}(\text{中心角}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{2\pi }{n}})$の面積を$R$と$n$を用いて表せ．

(3)　(2)の結果を用いて$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{n}}>{\displaystyle \frac{\pi }{n}}$を示せ．

(4)　周の長さが等しい正$n$角形と円では，どちらの面積が大きいか調べよ．