2011　産業医科大学　医学部

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　角$\theta$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}\text{，}$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{4}{3}}$を満たすとき，$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値は$\text{ア}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$\text{イ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　数列の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }\{\sqrt[3]{{(n^3-n^2)}^2}-2n\sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2\}$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$l_1\text{，}$$l_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$によって囲まれる図形の面積は$\text{エ}$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$x$を正の実数とするとき，関数$y={\left({\displaystyle \frac{2}{x}}\right)}^x$の導関数${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$は$\text{オ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-2\sin 2x+3{\cos }^{2}x}\mathit{dx}}$の値は$\text{カ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{B}$の成功率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{キ}$である．ただし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(8)　$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$枚である確率は$\text{ク}$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$に対し，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の値をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の値を，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{▵OAB}\text{，}$$\mathrm{▵OBC}\text{，}$$\mathrm{▵OCA}$の面積を，それぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とするとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$を用いて表しなさい．

【３】　数列

$1,2,1,$$3,2,1,$$4,3,2,1,$$5,4,3,2,1,$$\cdots \text{,}$$k,k-1,\cdots ,$$2,1,$$k+1,k,\cdots ,2,1,\cdots$

の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　数字$9$が$16$度目に現れるのは第何項か．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{365}}{a}_n$を求めなさい．