2011　関西学院大　教育(理系)，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y={\log }_2({\displaystyle \frac{x}{2}}+3)$のグラフは，関数$y={\log }_{2}x$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ア}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{イ}}$だけ平行移動したものである．これら$2$つのグラフについて，共有点の$x$座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$a=\sqrt{7}+\sqrt{3}\text{，}b=\sqrt{7}-\sqrt{3}$のとき$c={\displaystyle \frac{a}{b}}$とおくと，

$c+{\displaystyle \frac{1}{c}}=\boxed{\text{エ}}\text{，}c-{\displaystyle \frac{1}{c}}=\boxed{\text{オ}}\text{，}{c}^2+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}{c}^3+{\displaystyle \frac{1}{c^3}}=\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{C}$の$9$個の文字全部を使って作ることができる順列の総数は$\boxed{\text{ク}}$通りである．そのうち，$\mathrm{B}3$個が連続している順列は$\boxed{\text{ケ}}$通りであり，$\mathrm{A}2$個が隣り合わない順列は$\boxed{\text{コ}}$通りである．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．三角形$\mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，$2$直線$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OC}$の長さを$x$とする．このとき，${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を$x$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$が垂直であるとする．このとき，$x$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　条件$1\leqq a\leqq b\leqq 2\text{，}1\leqq a<c\leqq 2$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

(2)　条件$1\leqq a\leqq b\leqq 3\text{，}1\leqq a<c\leqq 4$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$のうち，$a=1$のもの，$a=2$のもの，$a=3$のものの個数をそれぞれ求めよ．

(3)　$m$を正の整数とする．条件$1\leqq a\leqq b\leqq m+1\text{，}1\leqq a<c\leqq 2m$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$の個数$M(m)$を求めよ．また，$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M(m)}{m^3}}$を求めよ．

(4)　$M(m)$が$67$の倍数になるような最小の正の整数$m$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$\cos x=\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$の解を$\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の範囲で求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta <\pi$を満たす定数$\theta$に対して，方程式$\cos x=\cos \theta$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$における$2$つの解を$\theta$で表せ．

(3)　上の(2)で求めた解のうち大きい方を$\alpha$とするとき，定積分$S={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}|\cos x-\cos \theta |dx$を$\theta$の式で表せ．

(4)　$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で変化するときの$S$の最小値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．