2011　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OC}=3\sqrt{3}$である．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CA}$の長さは$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{CA}=\boxed{\text{イ}}$である．また，$\cos \angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ウ}}$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{エ}}$である．よって，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$a+b=12$を満たすような自然数$a\text{，}b$の組$(a,b)$は$\boxed{\text{カ}}$組ある．また，$p+2q=12$を満たすような自然数$p\text{，}q$の組$(p,q)$は$\boxed{\text{キ}}$個あり，そのうち$p>q$である組の個数は$\boxed{\text{ク}}$個である．さらに，$c+d+e=12$を満たすような自然数$c\text{，}d\text{，}e$の組$(c,d,e)$は$\boxed{\text{ケ}}$個あり，そのうち$c>d\text{，}c>e$である組の個数は$\boxed{\text{コ}}$個である．

(1)　$f(x)=a{x}^2+bx+c$とする．すべての実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}f(u)+kf(v)\cdots \text{①}$

が成り立つように実数$u\text{，}k$と正の実数$v$を定めたい．$f(x)=a{x}^2+bx+c$であるから，定積分を計算すると${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=\boxed{\text{ア}}$である．よって，$\text{①}$が$a=b=0\text{，}c=1$のとき成り立つことから$k=\boxed{\text{イ}}$が得られる．同様に，$\text{①}$が$a=c=0\text{，}b=1$のときに成り立つこと，および$\text{①}$が$a=1\text{，}b=c=0$のときに成り立つことも使うと，$u=\boxed{\text{ウ}}\text{，}v=\boxed{\text{エ}}$が得られる．

(2)　座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(1,2)\text{，}\mathrm{B}(-2,-1)\text{，}\mathrm{C}(3,1)\text{，}\mathrm{P}(x,y)$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+3\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たすとき，$x=\boxed{\text{オ}}\text{，}y=\boxed{\text{カ}}$である．また，$\cos \angle \mathrm{APB}=\boxed{\text{キ}}$である．直線$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$1:\boxed{\text{ク}}$の比に内分する．また，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$1:\boxed{\text{ケ}}$の比に内分する．

(1)　$-2\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の増減表をかき，その範囲において$f(x)$が最大値，最小値をとる$x$の値と最大値，最小値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=a$が相異なる$3$個の実数解をもち，それらの解がすべて$-2$以上，$4$以下であるとする．実数$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$-2\leqq b\leqq 4$とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)\text{（}-2\leqq x\leqq 4\text{）}$上の点$(b,f(b))$におけるこの曲線の接線が点$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$を通るとする．$b$の値を求めよ．