2011　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施

【１】　$▵\mathrm{ABC}$は$\angle A=80\mathrm{°}\text{，}\angle B=75\mathrm{°}$かつ$\mathrm{AB}=1$である．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{AB}$であるようにとる．また，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{PQC}=40\mathrm{°}$であるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{BPQ}$の大きさを求めよ．

(2)　$\mathrm{BP}=2\sin 40\mathrm{°}$であることを示せ．

(3)　$\mathrm{BQ}=2\sin 15\mathrm{°}$であることを示せ．

(4)　$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．

(5)　$\angle \mathrm{BAQ}$の大きさを求めよ．

【２】　$2$つの曲線

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$

$C_2:x^2+{(y-5)}^2=16$

がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$はちょうど$2$個の共有点をもつことを示せ．その$2$個の共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ（$\mathrm{A}$の$x$座標は正とする）．

(2)　点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{A}$における$C_2$の接線は一致することを示せ．

(3)　円$C_2$の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$（直線$\mathrm{AB}$より下方にある弧）と放物線$C_1$とによって囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　直線$l:y=2x+1$がある．$l$上にない点$\mathrm{P}(a,b)$の$l$に関する対称な点を${\mathrm{P}}^{\prime }(a^{\prime },b^{\prime })$とする．$a^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }$をそれぞれ$a\text{，}b$を用いて表すと

$a^{\prime }=\boxed{\text{①}}$

$b^{\prime }=\boxed{\text{②}}$

である．

　点$\mathrm{P}$が直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}(t,-3t)$であるとき，${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を$t$で表すと$\boxed{\text{③}}$である．したがって，$\mathrm{P}$が直線$y=-3x$上の$x\geqq 0$の範囲を動くとき，${\mathrm{P}}^{\prime }$は直線$y=\boxed{\text{④}}$上の$x\leqq \boxed{\text{⑤}}$の範囲を動く．

【４】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　実数$x\text{，}y$は，${\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 2\text{，}y>1$の範囲にあり，次の式を満たしている．

$3{\log }_{y}x-2{\log }_{x}y+5=0$

　このとき，${\log }_{y}x$の値は$\boxed{\text{①}}$である．このことより，$y-9x$は$x=\boxed{\text{②}}$のとき最小値$\boxed{\text{③}}$をとり，$x=\boxed{\text{④}}$のとき最大値$\boxed{\text{⑤}}$をとる．