2011　関西大　全学部・センター理系2月7日実施

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$の範囲で，$y=f(x)$のグラフを解答用紙の$\boxed{\text{①}}$の欄にかけ．ただし，グラフは関数$f(x)$の極値と増減がわかるようにかくこと．

(2)　$S_0$の値を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log S_n}{n}}$を求めよ．

$a_1={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}\cos a_{n+1}=\sin (p{a}_n+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1-p))\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$p=1$のとき，$a_{49}=\boxed{\text{①}}\text{，}{a}_{50}=\boxed{\text{②}}$となる．

(2)　$0<p\leqq 1$のとき，数列$\{a_n\}$は，漸化式$a_{n+1}=\boxed{\text{③}}\cdot a_n+\boxed{\text{④}}$を満たし，一般項は$a_n={\displaystyle \frac{\pi }{6}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{p+1}}$と表される．ただし，$\boxed{\text{③}}$と$\boxed{\text{④}}$は$n$を含まない$p$の式で答えること．

(3)　$0<p<1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\beta$となる．このとき，$\beta$は$p$を用いて$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{p+1}}$と表される．さらに，$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{n=1}^N}(a_n-\beta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{6{(p+1)}^2}}$が成り立つ．

(1)　円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　直線$l$が円$C$と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　直線$l$が円$C$によって切り取られる線分の長さが$2$であるとき，$m$の値を求めよ．