2011　立命館大　文系学部Ａ方式2月4日実施

【１】

(1)　$x$についての$2$次方程式$x^2-(a+4)x+a^2-1=0$が異なる$2$つの整数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとき，定数$a$の値と解の組は$\boxed{\text{ア}}$組あり，解の和が最小の組は$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{ウ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{エ}}\text{，}$解の和が最大の組は$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{カ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(2)　$1$辺の長さが$2$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{ク}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\boxed{\text{コ}}$であり，$▵\mathrm{ACE}$の面積は$\boxed{\text{サ}}$である．また，正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の面積は$▵\mathrm{AEF}$の面積の$\boxed{\text{シ}}$倍である．

【１】

(3)　$k$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上の点$(k,k^2)$における接線を$l$とすると，直線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}$と表される．ここで，放物線$C$と直線$l$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S_1$とすると，$S_1=\boxed{\text{ソ}}{k}^3$である．さらに，原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を$S_2\text{，}$直線$l$と直線$x=k$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S_3$とするとき，$S_1:S_2:S_3$を最も簡単な整数比で表すと$\boxed{\text{タ}}:\boxed{\text{チ}}:\boxed{\text{ツ}}$となる．

【２】　ある商品の在庫量は，晴天の日には前日よりも$4\mathrm{\%}$減少し，雨天の日には前日よりも$8\mathrm{\%}$増加する．ただし，毎日の天気は一日中晴天あるいは一日中雨天のどちらかであるとし，在庫量は一日の終わりに調べるものとする．また，$2011$年$1$月$1$日の在庫量を$A_0\text{，}$その日から$n$日後の在庫量を$A_n$とする．

　なお，${\log }_2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とする．

(1)　${\log }_{10}0.96$の値は$\boxed{\text{テ}}$である．また，${\log }_{10}1.08$の値は$\boxed{\text{ト}}$である．

(2)　$n$日間晴天が続いた場合，

$A_n=\boxed{\text{ナ}}\cdot A_0$

と表される．

　晴天が続いたときに，はじめて在庫量が$A_0$の$75\mathrm{\%}$以下になるのは$\boxed{\text{ニ}}$日後である．ただし，$\boxed{\text{ニ}}$は整数とする．

(3)　$34$日間に雨天の日が$k$日ある場合，

$A_{34}={\boxed{\text{ヌ}}}^{\boxed{\text{ネ}}-\boxed{\text{ノ}}}\cdot {\boxed{\text{ハ}}}^{\boxed{\text{ノ}}}\cdot A_0$

と表される．

　$A_{34}$が$A_0$と等しくなるのは，雨天の日が$\boxed{\text{ヒ}}$日あるときである．ただし，$\boxed{\text{ヒ}}$は整数とする．

【３】(1)　平面上に$n$本の直線がある．どの$2$本も平行ではなく，どの$3$本も$1$点を共有しないとき，これらの直線によって平面はいくつに分割されるか．

(2)　空間が$n-1$枚の平面で分割されているとき，新たに$n$枚目の平面を加えるとする．その$n$枚目の平面は，$n-1$枚の平面との交線によっていくつに分割されるか．

　ただし，すべての平面は，どの$2$枚も平行ではなく，どの$3$枚も直線を共有せず，どの$4$枚も$1$点では交わらないものとする．

(3)　(2)の$n$枚の平面によって，空間はいくつに分割されるか．