2011　同志社大　理工学部2月10日実施

$A=\left(\begin{array}{cc}-7& 40\\ -2& 11\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．行列

$A-kE=\left(\begin{array}{cc}-7-k& 40\\ -2& 11-k\end{array}\right)$

が逆行列を持たない$k$の値を，$k_1\text{，}{k}_2\text{（}{k}_1<k_2\text{）}$とすると，$k_1=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{k}_2=\boxed{\text{エ}}$である．

$A\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}b\\ 1\end{array}\right)=k_2\left(\begin{array}{c}b\\ 1\end{array}\right)$

を満たす$a\text{，}b$は，$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}$であり，この$a\text{，}b$に対し，

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 1\end{array}\right)$

とおき，$B^{-1}AB$を利用すれば，正の整数$n$に対して

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{キ}}& \boxed{\text{ク}}\\ \boxed{\text{ケ}}& \boxed{\text{コ}}\end{array}\right)$

となる．

(1)　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　上の(1)で求めた接線$l\text{，}$曲線$y=\log x\text{，}$直線$x=1\text{，}x=a$で囲まれる部分の面積$S_1(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1(a)}{a^2}}$を求めよ．（必要なら$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log a}{a}}=0$を使ってよい．）

(4)　曲線$y=\log x$と線分$\mathrm{AP}$で囲まれる部分の面積$S_2(a)$を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{APQ}$の面積$S_3(a)$と

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2(a)}{S_3(a)}}$

を求めよ．

$C_1:x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1\text{，}{C}_2:{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+y^2=1$

の第$1$象限における交点を$\mathrm{P}(s,t)$とし，$\mathrm{P}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$L_1\text{，}{L}_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$s$および$t$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$2$直線$L_1\text{，}{L}_2$が直交するとき，$b$を$a$で表せ．

(3)　実数$a\text{，}b$が(2)の条件を満たしながら変化するとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

$f(x)=3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{3}}\right)+\sin (a-x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$4\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．また，$4\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$と$\sqrt{3}$のどちらが大きいかを判定せよ．

(2)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x\text{（}0<x<\pi \text{）}$を求めよ．

(3)　$f(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の最大値$M(a)$と最小値$m(a)$を求めよ．

(4)　$M(a)$と$m(a)(0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$のそれぞれについて最大値と最小値を求めよ．