2011　同志社大　理系学部2月7日実施

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$1$から$5$までの異なる整数の書かれた$5$枚のカードから$2$枚を同時に引く．このとき，引いた$2$枚のカードに書かれた数の和が$6$である確率は，$\boxed{\text{ア}}$であり，引いた$2$枚のカードに書かれた数の積が$6$である確率は，$\boxed{\text{イ}}$である．また，引いた$2$枚のカードに書かれた数の和の期待値は，$\boxed{\text{ウ}}$であり，引いた$2$枚のカードに書かれた数の積の期待値は，$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$f(x)=(x^2-x+1)e^{-x}$の第$2$次までの導関数は，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{オ}}\text{，}{f}^{″}(x)=\boxed{\text{カ}}$である．したがって，$f(x)$は$x=\boxed{\text{キ}}$で極大値$\boxed{\text{ク}}$をとり，$x=\boxed{\text{ケ}}$で極小値$\boxed{\text{コ}}$をとる．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，直線$\mathrm{XG}$と直線$\mathrm{OB}$が点$\mathrm{Y}$で交わるとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=x\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OY}}=y\overrightarrow{b}$

とおくとき，実数$y$を実数$x$を用いて表せ．また，交点$\mathrm{Y}$が線分$\mathrm{OB}$上にあるための，$x$の範囲を求めよ．

(3)　$x$の範囲は(2)で求めたものとする．$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OXY}$の面積をそれぞれ，$S\text{，}T$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$を$x$を用いて表せ．

(4)　$x$の範囲は(2)で求めたものとする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos kxdx$を計算せよ．

(2)　$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\cos }^{2}kxdx$を計算せよ．

(3)　互いに異なる$j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$と$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos jx\cos kxdx$を計算せよ．

(4)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cos kx)}^{2}dx$の値を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．

【４】　数列$\{I_n\}$を

$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{n}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$I_1$の値を求めよ．

(2)　部分積分法により

$I_{n+1}=-(n+1)I_n+e\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．また，$I_2\text{，}{I}_3$の値を求めよ．

(3)　$\log x$の$1<x\leqq e$における最大値と最小値を求め，$\{I_n\}$について

$0<I_n<e-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(4)　整数値をとる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$I_n=a_{n}e+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$の値を求めよ．さらに$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　上の(4)で定めた$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$について，次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$