2011　同志社大　文系学部2月6日実施

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上の放物線$y=-x^2+2ax+3a^2$と$x$軸の正の部分，$y$軸の正の部分との交点をそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$とし，この放物線の頂点を点$\mathrm{C}$とする．ただし，$a>0$とする．

　このとき，$a$を用いて$▵\mathrm{ABO}$の面積は$\boxed{\text{ア}}$と表され，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$と表される．また，直線$\mathrm{AB}$に直交し，点$\mathrm{C}$を通る直線の方程式は$\boxed{\text{ウ}}$となり，この直線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，点$\mathrm{D}$の座標は$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

　直線$\mathrm{CD}$が原点を通る場合，$a$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．このとき，放物線と直線$\mathrm{AB}$とで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{キ}}$であり，点$\mathrm{A}$における放物線の接線の傾きは$\boxed{\text{ク}}$である．

　次に，$▵\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$となる二等辺三角形になる場合，$a$の値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\cos \angle \mathrm{BCA}=\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　$2$から$16$までの整数がそれぞれ書かれたカードが$1$枚ずつ合計$15$枚ある．まずカードを$1$枚引き，そのカードに書かれた数を$a$とする．次に，残りの$14$枚のカードからカードを$1$枚引き，そのカードに書かれた数を$b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{a}b>1$となる確率を求めよ．

(2)　${\log }_{a}b>2$となる確率を求めよ．

(3)　$2{\log }_{a}b$が整数となる確率を求めよ．

【３】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2=8$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$x^2+y^2=8$と直線$x+y=p$が共有点を持つとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$x+y=4$のとき$x^3+y^3$の値を求めよ．

(3)　$x^3+y^3=16$のとき$x+y$の値を求めよ．