2011　同志社大　理系学部2月4日実施

(1)　定数$A\text{，}B\text{，}C$を

${\displaystyle \frac{x^2+5}{{(x+1)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{A}{{(x+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}+{\displaystyle \frac{C}{x-2}}$

が成立するように選ぶと

$A=\boxed{\text{ア}}\text{，}B=\boxed{\text{イ}}\text{，}C=\boxed{\text{ウ}}$

である．したがって

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2+5}{{(x+1)}^2(x-2)}}dx=\boxed{\text{エ}}$

である．

(2)　$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の最大数が$5$以下になる確率は$\boxed{\text{オ}}\text{，}4$以下になる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．これより，出る目の最大数がちょうど$6$になる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$ちょうど$5$になる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．したがって，$3$個のサイコロを同時に投げるときに，出る目の最大数の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

の表す$1$次変換$f$を考える．この$f$によって，$\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,1)$が移る点をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$とすると，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の長さが等しいとする．また，$f$によって，点$(1,2)$はそれ自身に移るとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}c$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす図形を$ac$平面に図示せよ．

(2)　$1$次変換$f$によって，点$\mathrm{R}(1,1)$が移る点を${\mathrm{R}}^{\prime }$とする．また，線分$\mathrm{O}{\mathrm{R}}^{\prime }$の長さを$r$とする．$r$の最大値および最小値とそのときの$a\text{，}c$の値，および点${\mathrm{R}}^{\prime }$の座標をそれぞれ求めよ．

$\alpha =\angle \mathrm{AOC}\text{，}\beta =\angle \mathrm{BOC}\text{，}\theta =\angle \mathrm{AOB}$

とおく．ただし，点$\mathrm{C}$の座標は$(0,0,1)$とし，$0\leqq \alpha \leqq \pi \text{，}0<\beta \leqq \pi \text{，}0<\theta \leqq \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(a_1,a_2,a_3)$とするとき，

$a_3\text{，}\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

を$\alpha$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(b_1,b_2,b_3)$とするとき，

$b_3\text{，}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}$

を$\beta$で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\cos (\alpha +\beta )$の大小を判定せよ．ただし，等号成立条件は述べなくてよい．

(3)　上の(2)の結果を用いて，$\theta$と$\alpha +\beta$の大小を判定せよ．ただし，等号成立条件は述べなくてよい．

$a_1=\sqrt{2}\text{，}{a}_2={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\text{，}{a}_3={\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}\text{，}{a}_4={\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}}\text{，}\cdots$

は漸化式

$a_{n+1}={(\sqrt{2})}^{a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．$f(x)={(\sqrt{2})}^x$として次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$における$f^{\prime }(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$0<a_n<2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成立することを数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　$0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成立することを示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．