2011　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1\leqq x\leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，そのときの最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\angle O$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle O$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=\boxed{\text{ウ}}$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=\boxed{\text{オ}}$であり，そのときの虚数解は，$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^{\prime }(-1)=\boxed{\text{キ}}$であり，${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$のとき，$\sin (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})-\cos 2\theta$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(-p,p^2)\text{，}\mathrm{R}(-p,p^2+2p)\text{，}\mathrm{S}(p,p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2\text{，}x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．

(1)　$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を$p$で表せ．

(3)　$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a,f(a))$における接線が$l$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　放物線$y=-x^2+4x-7$を$y$軸に関して対称移動して得られる図形の方程式は$\boxed{\text{ア}}$であり，$x$軸に関して対称移動して得られる図形の方程式は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　点$(0,k)$を通る傾き$1$の直線が，中心$(0,1)\text{，}$半径$1$の円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとき，実数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，線分$\mathrm{PQ}$が$C$に内接する正三角形の一辺となる$k$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$5$人の子どもを集めたとき，同じ月に生まれた人がいる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．さらに，同じ日に生まれた双子が$1$組だけ含まれている場合，誕生月が同じである子どもがその$2$人だけである確率は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，$1$月から$12$月のどの月に生まれるかは同様に確からしいものとし，かつ，誕生月は互いに独立に決まっているとする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$3$次関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}(1-a^2)x^2$がある．$x\geqq 0$の範囲における$f(x)$の最小値$m$が$0$より小さくなるのは，実数$a$の値が$\boxed{\text{キ}}$の範囲にあるときであり，このとき$m$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　空間における平面$\alpha$が$10x-3y+z=k$で表されるとき，点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,3)\text{，}\mathrm{C}(2,3,-1)\text{，}\mathrm{D}(1,4,2)$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$のひとつの側面が$\alpha$に含まれるのは，$k=\boxed{\text{ケ}}$のときである．また$k=4$のとき，$\alpha$と四面体$\mathrm{ABCD}$の重なりによって作られる直角三角形の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \text{（}x<1\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{（}1\leqq x<3\text{）}\\ 3& \text{（}3\leqq x\text{）}\end{array}$

また，$t$を正の実数とするとき，$x\geqq 0$の範囲で$f(x)-{\displaystyle \frac{t}{4}}{x}^2$が最大となる$x$は$t$の関数として表される．この関数を$g(x)$とする．

(1)　$t$を正の実数とするとき，関数$h(x)=2x$について，$x\geqq 0$の範囲で$h(x)-{\displaystyle \frac{t}{4}}{x}^2$が最大となる$x$を$t$で表せ．

(2)　$g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$と$g(1)$の値を求めよ．

(3)　$g(t)$を求めよ．また，$y=g(t)$のグラフの概形を$ty$平面上に描け．

【３】　初項$a_1=1\text{，}$公比$r>0$の等比数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$がある．初めの$12$個の項を第$1$群，第$13$項から始まる$12$個の項を第$2$群と，項を順に$12$個ずつの群に分ける．ただし，以下の設問中の$m$は正の整数，$k$は$1$から$12$までの整数である．

(1)　第$m$群の$k$番目の項を，$r$と$m$と$k$で表せ．

(2)　任意の$m$と$k$について，第$m$群の$k$番目の項と第$(m+1)$群の$k$番目の項の比が$1:2$であるとき，$r$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\sqrt{2^{11}}$は第何群の何番目の項になるかを答えよ．

(4)　(2)のとき，第$m$群に含まれるすべての項の和を$m$で表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4-x}}}$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ケ}}$であり，定積分${\displaystyle {\int }_1^3}f(x)dx$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(x)=\sqrt[3]{x}\log x$がある．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$が，原点を通る直線と接するとき，その直線の方程式と，接点の座標を求めよ．

(3)　$f^{\prime }(x)=x{f}^{″}(x)$を満たす$x$の値を求めよ．