2011　南山大　数理情報A2月9日実施

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数$\text{（}a\ne b\text{）}$とする．$2$つの$2$次関数

$y=x^2+ax+b\text{，}y=x^2+bx+a$

の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=\boxed{\text{ア}}$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$の積$AB$を求めると$AB=\boxed{\text{ウ}}$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,1)\text{，}(2,3)$の像が，それぞれ，$(-3,5)\text{，}(-8,12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$は$0\leqq \alpha <2\pi \text{，}0\leqq \beta <2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha \text{，}b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$を$a$と$b$で表すと$A=\boxed{\text{オ}}$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta =\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+{(y-3)}^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=\boxed{\text{ク}}$のときである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　曲線$C:y={\displaystyle \frac{e^{a(x+2)}}{a}}\text{（}a>0\text{）}$と原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた接線$l$を考える．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$について，$S$を最小にする$a$の値と$S$の最小値を求めよ．

【３】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}(4,0,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,1)\text{，}\mathrm{C}(a,b,0)$がある．

(1)　$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$のとき，$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{ACB}$が$90\mathrm{°}$のとき，$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．また，その条件を満たしながら$a\text{，}b$の値が変わるとき，$xy$平面上での$C$の軌跡を求めよ．

(3)　(1)の条件と(2)の条件をともに満たす$C$の座標を求めよ．