2011　南山大　経営学部2月9日実施

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$8^{n-1}<{10}^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9\text{，}b=8\text{，}c=7$であるとき，$\sin A=\boxed{\text{イ}}$であり，この三角形の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\alpha ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}i}{2}}$であるとき，実数$k$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．また，${\alpha }^5+{\alpha }^3+1$の値を求めると$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-1|dx=\boxed{\text{カ}}$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$f(x)=|x^2-1|+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)dt$を満たすとき，$f(x)=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a\text{，}b$は実数で，$a<0$とする．$a\leqq x\leqq 3$を定義域とする$2$次関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+b$の値域が$-5\leqq y\leqq 3$であるとき，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3a{x}^2-9a^{2}x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　点$\mathrm{A}(1,0)$を通る傾き$k$の直線を$l$とする．$l$と放物線$C:y=-x^2-2x+4$の$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha ,-{\alpha }^2-2\alpha +4)\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,-{\beta }^2-2\beta +4)$とする．ただし，$\alpha <\beta$である．

(1)　$\beta -\alpha$を$k$を用いて表せ．

(2)　$\beta -\alpha$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$l$と$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　(2)のとき，$C$上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動く点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AR}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．　

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　鋭角三角形の$3$辺の長さが，$1\text{，}3\text{，}a$であるとき，実数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，この三角形の外接円の半径が${\displaystyle \frac{9}{\sqrt{35}}}$のとき，$a=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　${(x+{\displaystyle \frac{y}{3}})}^{12}$の展開式における$x^{12-k}{y}^k$の係数を$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}12\text{）}$とする．$1\leqq k\leqq 12$について${\displaystyle \frac{a_k}{a_{k-1}}}$を，$k$を用いて表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{3k}}$である．$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}12\text{）}$が最大となるのは$k=\boxed{\text{カ}}$のときである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$k$を実数とし，空間の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(k,k,k)\text{，}\mathrm{B}(1,2,2)$を考える．$\mathrm{A}$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,-3,2)$に平行な直線を$l$とする．$l$上の点を$\mathrm{P}$とし，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{ケ}}$である．$x\geqq 2$かつ$y\geqq 0$で表される空間の領域と$l$が共有点をもつとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{A}(1,0)$と放物線$C_1:y=-x^2-2x+4$がある．$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の中点の軌跡$C_2$を求めよ．

(2)　$C_2$上の点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とする．$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(3)　$l$と$C_1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　$S$が最小となるとき，$t$の値，および$l$の方程式を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\text{，}{a}_{n+1}-2=S_n+4T_n\\ b_1=1\text{，}{b}_{n+1}-1=5S_n+2T_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たす．ただし，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n\text{，}\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．

(1)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$のそれぞれを$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n+k{b}_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が等比数列となるような実数$k$の値を求めよ．また，そのときの公比$r$を求めよ．

(4)　$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．