2011　南山大　センター併用2月7日実施

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a>1$のとき，不等式$a^{2x}+2a^x-3<0$を$x$について解くと$\boxed{\text{ア}}$である．また，方程式${({\log }_{2}x)}^2-9{\log }_{8}x+2=0$を解くと$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　座標平面上の$3$直線$l_1:y={\displaystyle \frac{1}{7}}x\text{，}{l}_2:y=-{\displaystyle \frac{1}{7}}x\text{，}{l}_3:y=-x+12$を考える．$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$で囲まれる三角形の内心の座標は$\boxed{\text{ウ}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が石を$3$個ずつ持ち，さいころの目によってそれを取り合い，石を$6$個全部手に入れた方が勝ちというゲームを行う．ゲームは以下の対戦を勝負がつくまで繰り返す．

　「対戦ではそれぞれがさいころを$1$回投げる．出た目に差があれば，大きい目を出した人が出た目の差と同じ石を相手から取る．ただし，出た目の差よりも相手の石の数が少ない場合は相手の石を全部取る．また，出た目が同じならば石のやりとりはしない．」

　このゲームにおいて，$1$回目の対戦で$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$2$回目の対戦で勝負がつく確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　正の実数$a$について，定積分$S={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-ax|dx$を考える．

(1)　関数$y=|x^2-ax|$のグラフを図示せよ．

(2)　$S$を$a$で表せ．

(3)　$S$を最小にする$a$の値とそのときの$S$の値を求めよ．

(4)　$S$を$a$の関数と考えて，$S=f(a)$と表す．関数$y=f(a)$のグラフを図示せよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,3)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(3,-1)$を考える．実数$t\text{（}0<t<1\text{）}$について，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$t$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ア}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と直交するときの$t$の値は$t=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}\sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$のとき，$\tan (\alpha -\beta )$の値を求めると$\tan (\alpha -\beta )=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^6(x^4+x^2+1)$の展開式における$x^6$の項の係数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$0\leqq x\leqq 2\pi$で関数$y=e^{-x}\sin x$のグラフと$x$軸に囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)　$2$つの等式

${\displaystyle \int }{e}^{-x}(\sin x+\cos x)dx=-e^{-x}\cos x+C_1$，

${\displaystyle \int }{e}^{-x}(\sin x-\cos x)dx=-e^{-x}\sin x+C_2$

を示せ．ただし，$C_1\text{，}{C}_2$は積分定数である．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx$を求めよ．

(3)　$S$の値を求めよ．