2011　早稲田大学　商学部

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t^2-x^2|dt$

の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(2)　$n$を正の整数とする．${10}^n$の正の約数すべての積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(3)　${\log }_{3}n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$\boxed{\text{ウ}}$個ある．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(4)　関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．

(ⅰ)　すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$

(ⅱ)　$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$のときに限り$f(x)=0$となる．

　このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(3,3,4)\text{，}\mathrm{B}(1,0,0)$がある．次の条件を満たす点$\mathrm{P}$の集合を$C$とする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$

また，次の条件を満たす点$\mathrm{Q}$の集合を$S$とする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=1$

次の設問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$を$S$上の点とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を$C$上の点とし，点$\mathrm{Q}$を$S$上の点とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

とする．

　次の設問に答えよ．

(1)　$a_7$を求めよ．

(2)　$a_k=k$のとき，条件

$m>k\text{，}{a}_m=m$

を満たす最小の整数$m$を$k$で表せ．

(3)　$a_{2011}$を求めよ．