2011　早稲田大学　政治経済学部

【１】　曲線$y={\log }_{4}x$上に，その$x$座標を，それぞれ，${\displaystyle \frac{1}{2}}t\text{，}t\text{，}2t\text{（}t>0\text{）}$とする$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$\boxed{\text{（ア）}}$であり，$▵\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{（イ）}}$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$は整数で，$2$次方程式

$x^2+ax+b=0\cdots$(A)

が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつとする．このとき，$\alpha \text{，}\beta$はともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成せよ．

　まず，$b=0$のときは，$x^2+ax=0$であるから(A)は整数解$0\text{，}-a$をもつ．以下では$b\ne 0$とする．

　解と係数の関係より$\alpha +\beta =-a\text{，}\alpha \beta =b$であり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数でないという事実を用いると，$\alpha \text{，}\beta$がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．

　そこで，$\alpha \text{，}\beta$が$2$以上の整数$p_1\text{，}{p}_2$と，$0$でない整数$q_1\text{，}{q}_2$を用いて，既約分数

$\alpha ={\displaystyle \frac{q_1}{p_1}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{q_2}{p_2}}$

で表されると仮定する．ここに，${\displaystyle \frac{q_i}{p_i}}\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$が既約分数であるとは，$p_i$と$|q_i|$の最大公約数が$1$であることをいう．このとき，

$\begin{array}{rlll}\alpha +\beta & =& {\displaystyle \frac{p_2{q}_1+p_1{q}_2}{p_1{p}_2}}& \cdots \text{①}\\ \alpha \beta & =& {\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{p_1{p}_2}}& \cdots \text{②}\end{array}$

である．

問１　$\text{①}$において，$\alpha +\beta$が整数であることを用いて，$p_1=p_2$であることを示せ．

問２　$\text{②}$において，$\alpha \beta$が整数であることと問１の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．

　問２の結果から，$\alpha \text{，}\beta$はともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．

(2)　$c$が自然数のとき，$\sqrt{c}$は自然数であるか無理数であることを証明せよ．

【３】　$1$回投げて表が出る確率$p\text{，}$裏が出る確率$1-p$のコインが$1$枚ある．このコインを$1$日に$4$回投げる試行を$\mathrm{T}$とする．このとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　試行$\mathrm{T}$において，$2$回以上表が出る確率$A$を，$p$の多項式として降べきの順に表せ．

(2)　試行$\mathrm{T}$を$5$日間続ける試行を$\mathrm{S}$とする．

(ⅰ)　試行$\mathrm{S}$において，$5$日間の中でちょうど$3$日だけ$1$日に$2$回以上表が出て，かつ，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$を用いて表せ．

(ⅱ)　試行$\mathrm{S}$において，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$の多項式として降べきの順に表せ．

【４】　$a>0$とし，$x‐y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{P}(x,y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，$\mathrm{P}$が

$2{\mathrm{PO}}^2+{\mathrm{PA}}^2=3l^2\cdots$(＊)

をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　(＊)をみたす$\mathrm{P}$の集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときの$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$が一直線上にないような$\mathrm{P}$が存在するとき，$\mathrm{OA}$を軸として，$▵\mathrm{POA}$を回転して立体をつくる．この立体の体積が最大となるときの$\mathrm{P}$の$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．答のみ解答欄に記入せよ．

(3)　(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．