2011　東邦大学　薬学部推薦

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2-2x-2$について，$y<1$となる$x$の値の範囲は$\boxed{}$である．

(2)　$2$つの$2$次関数$y=x^2-2x-2\text{，}y=-x^2+3x-1$について，ともに$y<1$となるような$x$の値の範囲は$\boxed{}$である．

【２】　次の式を簡単にせよ．ただし，$a>0\text{，}b>0\text{，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}}\times \sqrt{a}÷\sqrt[3]{a}=\boxed{}$

(2)　${\log }_a{b}^{{\log }_b\frac{1}{a}}=\boxed{}$

(3)　$\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\sin 2x+\cos 2x=\boxed{}$

【３】　$1$辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AE}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の式で表すと$\boxed{}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$の値は$\boxed{}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の式で表すと$\boxed{}$である．

【４】　円$x^2+y^2=4\cdots \text{①}$と放物線$y=\sqrt{3}{x}^2\cdots \text{②}$がある．原点を$\mathrm{O}\text{，}$円と放物線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分との角を$\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta$を求めよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　不等式$x^2+y^2\leqq 4$で表される領域を放物線$\text{②}$でわけるとき，小さい方の図形の面積を求めよ．