2011　東邦大学　医学部医学科

　右図のような曲線$x^{\frac{2}{3}}+4y^{\frac{2}{3}}=4\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$を$C$とする．以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^n\theta d\theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，$I_2$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$である．また，$I_6$と$I_4$の間には，関係式$I_6={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{I}_4$が成り立つ．

(2)　曲線$C$および$x$軸，$y$軸に囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$である．

(3)　曲線$C$の方程式について，$y$の導関数を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$とする．$x>0\text{，}y>0$のとき，${\left({\displaystyle \frac{x}{y}}\right)}^{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$は一定の値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．

(4)　曲線$C$上の点で，第$1$象限内にある点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．原点を$\mathrm{O}$で表したとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は点$\mathrm{A}$の$x$座標が$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$のとき，最大値$\boxed{\text{シ}}$をとる．