2011　東京理科大学　工学部第二部B方式3月5日実施

【１】　$a\text{，}b$を実数として，行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& b\end{array}\right)$を考える．行列$A$が逆行列をもたないとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$b$を$a$を用いて表すと$b=\boxed{\text{ア}}{a}^2$となる．

(2)　$x\text{，}y$に関する連立$1$次方程式

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$

が解を無数にもつとき，

$A=\left(\begin{array}{cc}1& \boxed{\text{イ}}\\ \boxed{\text{イ}}& \boxed{\text{ウ}}\end{array}\right)$

である．

【２】　座標平面において，直線$y=2x+1$と放物線$2y^2=a(x+1)$は異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲は

$a>\boxed{\text{ア}}\text{，}a<-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$

である．

(2)　$a=2$のとき，直線$y=2x+1$と放物線$2y^2=a(x+1)$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

【３】　$0\leqq x\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$x\text{，}y$が連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}y={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ \sin x\sin y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}$

を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi \text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$である．

【４】　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+3n-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，数列$\{b_n\}$の一般項は

$b_n=\boxed{\text{エ}}\cdot {\boxed{\text{オ}}}^{n-1}-\boxed{\text{カ}}$

である．

(3)　$a_n=\boxed{\text{キ}}\cdot {\boxed{\text{ク}}}^{n-1}-\boxed{\text{ケ}}n-\boxed{\text{コ}}$である．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は

$\boxed{\text{サ}}\cdot {\boxed{\text{シ}}}^n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{n}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}n-\boxed{\text{チ}}$

である．

【５】　座標平面において，$2$点$\mathrm{A}(-1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,6)$および直線$y=2x$を考える．

(1)　直線$y=2x$に関して，点$\mathrm{A}$と対称な点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}})$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$y=2x$上を動くとき，$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}$を最小にする$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}})$である．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．直線$y=2x$上の点で，直線$l$との距離が$4$となる点の座標は$(\boxed{\text{セ}\text{ソ}},\boxed{\text{タ}\text{チ}})$と$(-\boxed{\text{ツ}},-\boxed{\text{テ}\text{ト}})$である．