2011　東京理科大学　理学部第二部3月4日実施

【１】　次の$\boxed{}$内の$1$つのアからニにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．

　自然数$n$に対して，$a=2^{20n^2+40n+8}\text{，}c=2^{12n^2+24n+5}$とし，$b$を$a^3+b^4=c^5$を満たす正の実数とする．このとき

$b^4=2^{\boxed{\text{ア}\text{イ}}{n}^2+\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}n+\boxed{\text{カ}\text{キ}}}$

である．また，$A$を実数とし，$k=A{\log }_{2}a-4{\log }_{2}b-5{\log }_{2}c$とおくと

$\begin{array}{ll}k=& (\boxed{\text{ク}\text{ケ}}A-\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}})n^2+(\boxed{\text{ス}\text{セ}}A\\ & -\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}})n+(\boxed{\text{ツ}}A-\boxed{\text{テ}\text{ト}})\end{array}$

となる．よって，$k$が$n$に依存しないとすると，$A=\boxed{\text{(p)}}\boxed{\text{ナ}}$であり，このとき$k=\boxed{\text{(q)}}\boxed{\text{ニ}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$内の$1$つのヌからモにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．

(1)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+4\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n={\boxed{\text{ヌ}}}^n-\boxed{\text{ネ}}$

である．

(2)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{7a_n}{4a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求める．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{，}{c}_c=b_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$の等比数列である．よって

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}\cdot {\boxed{\text{ミ}}}^{n-1}}{\boxed{\text{ム}}+\boxed{\text{メ}}\cdot {\boxed{\text{モ}}}^{n-1}}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$内の$1$つのヤからワにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．

「$4$つの選択肢の中からただ$1$つの正解を選ぶ」という問題が$5$問あるとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　全くでたらめに答えて，$5$問中少なくとも$4$問正解する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}}}$である．

(2)　$5$問正解であれば$10$点，$4$問正解であれば$6$点，$3$問正解であれば$3$点，それ以外は$0$点であるとする．全くでたらめに答えたときの点数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}\text{リ}\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}\text{ロ}\text{ワ}}}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$内の$1$つのあからこにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．また，$\boxed{}$内の(r)と(s)にあてはまる正負の記号をマークしなさい．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle {\int }_1^x}(2t^2-8t+6)dt$について，次の問に答えなさい．

(a)　$f(6)=\boxed{\text{あ}\text{い}}$である．

(b)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{う}}{x}^2-\boxed{\text{え}}x+\boxed{\text{お}}$

である．

(c)　区間$0\leqq x\leqq 3$における関数$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{(r)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{(s)}}\boxed{\text{く}}$である．

(2)　$a>0$とする．関数$g(x)$を，

$g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}a+{\displaystyle {\int }_a^x}(2t^2-8at+6a^2)dt$

により定める．区間$0\leqq x\leqq 3a$における関数$g(x)$の最小値が$0$であるとすると， $a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{け}}}{\boxed{\text{こ}}}}$である．

【５】　次の$\boxed{}$内の$1$つのさからねにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．

　$m>0$とし，円${(x-3)}^2+{(y-5)}^2=11$を$C_1\text{，}$直線$x-y-m=0$を$l$とする．次の問に答えなさい．

(1)　原点$\mathrm{O}$から$C_1$に引いた$1$つの接線の接点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{さ}\text{し}}}$である．

(2)　$C_1$と$l$が接するとき，$m=\sqrt{\boxed{\text{す}\text{せ}}}-\boxed{\text{そ}}$である．

(3)　$t$を正の実数とし，円$x^2+y^2=1$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$から$C_1$に引いた$1$つの接線の接点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}\mathrm{P}$から$C_2$に引いた$1$つの接線の接点を${\mathrm{Q}}_2$とするとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_1$と線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_2$の長さの比が$t:1$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を$C_3$とする．$C_3$が点$(1,1)$を通るとき，$t=\boxed{\text{た}}$であり，このとき，$C_3$は

中心$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ち}}}{\boxed{\text{つ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{て}}}{\boxed{\text{と}}}})$，半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{な}\text{に}\text{ぬ}}}}{\boxed{\text{ね}}}}$

の円である．

【６】　次の$\boxed{}$内の$1$つののかられにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい．なお，$\boxed{\text{あ}}$などが$2$度現れる場合，$2$度目は$\boxed{\text{あ}}$などのように網掛けで表記する．

　$1$辺の長さが$2$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$a:(1-a)$（ただし，$0<a<1$）に内分する点を$\mathrm{R}$とする．辺$\mathrm{QR}$の長さを$l$とおくと

$l^2=\boxed{\text{の}}{a}^2-\boxed{\text{は}}a+\boxed{\text{ひ}}\cdots$(1)

である．$\angle \mathrm{PRQ}$を$\theta$とおくと

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ふ}}{l}^2-\boxed{\text{へ}}}}{\boxed{\text{ほ}}{l}^2}}$

である．したがって，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とおくと，

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ま}}}{\boxed{\text{み}}}}\sqrt{\boxed{\text{ふ}}{l}^2-\boxed{\text{へ}}}$

である．よって，(1)を用いて，

$S^2=\boxed{\text{む}}{a}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{め}}}{\boxed{\text{も}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{や}}}{\boxed{\text{ゆ}\text{よ}}}}$

となる．したがって，$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$の最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ら}}}}{\boxed{\text{り}}}}$であり，最小値を与える$a$の値は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{る}}}{\boxed{\text{れ}}}}$である．