2011　東京理科大学　全学部C日程2月18日実施

【１】　$a$を正の実数とし，実数$x$は

$8(a^x+{\displaystyle \frac{1}{a^x}})+9(a^{2x}+{\displaystyle \frac{1}{a^{2x}}})-802=0$

を満たすものとする．

(1)　$t=a^x+{\displaystyle \frac{1}{a^x}}$とおくと，$t$は

$\boxed{\text{ア}}{t}^2+\boxed{\text{イ}}t-\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}=0$

を満たす．ゆえに

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(2)　$a=3$のとき，$x=-\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$となり，$a=243$のとき，$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$となる．

【２】　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$が

$|4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}|=1\text{，}$$|3\overrightarrow{x}+4\overrightarrow{y}|=1$

を満たすように動いている．ここで，$4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}=\overrightarrow{u}\text{，}3\overrightarrow{x}+4\overrightarrow{y}=\overrightarrow{v}$とおくと

$\overrightarrow{x}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}(\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{u}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{v})\text{，}\overrightarrow{y}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}(-\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{u}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{v})$

となる．このことから

${|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$

となる．ゆえに，$|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$で，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$である．

【３】　$xy$平面上の任意の点を直線$y=\sqrt{3}x$に関して対称な点に移す$1$次変換を考える．

(1)　この$1$次変換を表す行列を$A$とすると

$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}& {\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\end{array}\right)$

となる．

(2)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上の点を$A$で表された$1$次変換で移し，さらに続けて原点のまわりに角$\theta$だけ回転したとする．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，この点は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}(\boxed{\text{ケ}}{x}^2+\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}xy+\boxed{\text{シ}\text{ス}}{y}^2)=1$

で表される図形上に移り，$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき

${\displaystyle \frac{x^2}{\boxed{\text{セ}}}}+{\displaystyle \frac{y^2}{\boxed{\text{ソ}}}}=1$

で表される楕円上に移る．

【４】　座標空間において，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．点$\mathrm{D}(1,0,1)$をとり，線分$\mathrm{AD}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また点$\mathrm{G}(1,1,1)$をとり，線分$\mathrm{DG}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)　点$\mathrm{E}(0,1,1)$をとるとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

である．

(2)　線分$\mathrm{EP}$と$\mathrm{OQ}$が交わるとし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{ER}}$であるから，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$であり，点$\mathrm{R}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})$である．

(3)　(2)のとき，$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とすると

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}{4}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であるから，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\sqrt{\boxed{\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}}}$であり，$▵\mathrm{OPQ}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}}}$である．

【５】　$x$の関数$F(x)={\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{|t-x|}{t+3}}dt$の最小値を求めたい．$x<0$のとき$F(x)>F(0)\text{，}x>2$のとき$F(x)>F(2)$であることがわかるから，$0\leqq x\leqq 2$の範囲で調べればよい．

　以下において$\log x$は自然対数を表す．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$のとき

$\begin{array}{lll}F(x)& =& \boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\log \boxed{\text{ウ}\text{エ}}-(\boxed{\text{オ}}+\log \boxed{\text{カ}\text{キ}})x\\ & & +\boxed{\text{ク}}(x+\boxed{\text{ケ}})\log (x+\boxed{\text{コ}})\end{array}$

である．

(2)　$0<x<2$において，$F(x)$の導関数$F^{\prime }(x)$は

$F^{\prime }(x)=-\log \boxed{\text{サ}\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\log (x+\boxed{\text{セ}})$

である．

(3)　以上より，$F(x)$は$x=\sqrt{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}-\boxed{\text{チ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ツ}}-2\sqrt{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}$をとる．

【６】　$xy$平面に媒介変数$t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いて表された曲線

$x=\cos 2t\text{，}y={(\sin t)}^k$

がある．ここで，$k$は正の整数である．

(1)　$k=2$のとき，${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-\boxed{\text{ア}}\sin 2t\text{，}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=\boxed{\text{イ}}\sin t\cos t$であるから，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dy}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$

の値は$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(2)　$k=3$のとき，この曲線と$x$軸と直線$x=-1$とで囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(3)　(2)の図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{カ}}}}$である．