2011　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の(あ)から(お)には，解答群の中からあてはまるものを選び，その番号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表す．また，$\boxed{\text{ウ}}$は既出の$\boxed{\text{ウ}}$を表す．

(1)　$1$と書かれたカード，$10$と書かれたカード，$100$と書かれたカードの$3$種類のカードがある．与えられた自然数$m$に対し，これらの$3$種類のカードから何枚か選んで，選ばれたカードに書かれた数字の合計がちょうど$m$になるようにする方法について考える．ただし，それぞれの種類のカードは何枚でも使用できるものとする．

　たとえば，$m=11$とすると，そのようにカードを選ぶ方法は，

「$1$と書かれたカードを$1$枚と，$10$と書かれたカードを$1$枚選ぶ」

か，または

「$1$と書かれたカードを$11$枚選ぶ」

かの$2$通りである．次の問いに答えよ．

(a)　合計がちょうど$100$になるようにカードを選ぶ方法は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．

(b)　自然数$n$に対して，合計がちょうど$100n$になるようにカードを選ぶ方法が$a_n$通りあるとする．$n\geqq 2$のとき，この方法のうちで，$100$と書かれたカードを少なくとも$1$枚使用するような方法は$a_{n-\boxed{\text{ウ}}}$通りあるので，

$a_n=\boxed{\text{エ}}{a}_{n-\boxed{\text{ウ}}}+\boxed{\text{オ}\text{カ}}n+\boxed{\text{キ}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

が成り立つ．よって$a_n=\boxed{\text{ク}}{n}^2+\boxed{\text{ケ}}n+\boxed{\text{コ}}$となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の(あ)から(お)には，解答群の中からあてはまるものを選び，その番号を解答用マークシートにマークせよ．

(2)　$A\text{，}B$は実数を成分とする$2$次の正方行列とし，$O\text{，}E$はそれぞれ$2$次の零行列，単位行列とする．

　次の$\boxed{\text{(あ)}}$〜$\boxed{\text{(お)}}$にあてはまるものを，下の1〜4のうちから$1$つずつ選べ．ただし，同じ者を繰り返し選んでもよい．

(a)　$A=O$は$A^2=O$であるための$\boxed{\text{(あ)}}$．

(b)　$AB=O$は$BA=O$であるための$\boxed{\text{(い)}}$．

(c)　$AB=E$は$BA=E$であるための$\boxed{\text{(う)}}$．

(d)　すべての自然数$n$に対して$A^n\ne O$であることは，$A$の逆行列が存在するための$\boxed{\text{(え)}}$．

(e)　$A^n=E$となる自然数$n$が存在することは，$A$の逆行列が存在するための$\boxed{\text{(お)}}$．

(あ)，(い)，(う)，(え)，(お)の解答群

1　必要十分条件である

2　必要条件であるが，十分条件でない

3　十分条件であるが，必要条件でない

4　必要条件でも十分条件でもない

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　以下で対数は自然対数とする．

(a)　${\displaystyle \int }x\log xdx={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{サ}}}}{x}^{\boxed{\text{シ}}}\log x-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ス}}}}{x}^{\boxed{\text{セ}}}+C$（$C$は積分定数）

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　以下で対数は自然対数とする．

(b)　$x>0$のとき，不等式$\log x<x$が成り立つ．この不等式で$x$の代わりに$\sqrt{x}$を代入した不等式を利用すると，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=\boxed{\text{ソ}}$が得られる．また，これより$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=\boxed{\text{タ}}$も得られる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)

(c)　${\displaystyle {\int }_a^b}(x-a)(x-b)dx=-{\displaystyle \frac{{(b-a)}^{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{7}{3}}\text{，}{a}_{n+1}={(a_n-2)}^2+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．また，自然数$n$に対し，関数$f_n(x)\text{，}{g}_n(x)$を

$f_n(x)=x^2+(1-2a_n)x+{a_n}^2-a_{n+1}\text{，}{g}_n(x)=|f_n(x)|$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f_n(x)=0$は$2$とは異なる解$b_n$をもつ．$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　一般項$a_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(3)　$b_n$と$2$ではどちらが大きいか，理由も含めて答えよ．

(4)　正の実数$t$に対して，$l_t$は直線$y=-t(x-2)$を表すとする．

(a)　直線$l_t$と曲線$y=g_n(x)$の共有点が，すべての自然数$n$に対して$2$個であるという．$t$の値の範囲を求めよ．

(b)　(a)で求めた範囲における$t$の最小値を$T$とする．直線$l_T$と曲線$y=g_n(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$b_n$を用いて表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．必要ならば【１】(3)の結果を使ってもよい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$があり，右図のように，実数$u\text{（}0\leqq u\leqq 1\text{）}$に対して，$2$点$\mathrm{P}(u,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,1-u,u)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　実数$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$に対して，線分$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}(x,y,z)$とする．ただし，$t=0\text{，}1$のとき，点$\mathrm{R}$はそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$であるとする．

(a)　$x\text{，}y\text{，}z$を$u$と$t$を用いて表せ．

(b)　$z\ne 0$のとき，$y$を$x$と$z$のみの（$u$，$t$を含まない）式で表せ．

(c)　(b)で求めた式を$f(x,z)$とし，実数$c\text{（}0<c\leqq 1\text{）}$に対して，$g(x)=f(x,c)$とおく．$xy$平面上の曲線$y=g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とおくとき，$S$を$c$を用いて表せ．ただし，$c=1$のときは$S=0$とする．

(2)　$u$が$0$から$1$まで動くとき，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで，点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$まで動き，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形は，ある曲面になる．この曲面と$yz$平面および$zx$平面で囲まれた立体$K$の体積$V$を計算しよう．

　(1)(c)で求めた$S$は，$z$軸に垂直な平面$z=c$による立体$K$の切り口の面積である．実数$h\text{（}0<h<1\text{）}$に対して，$K$のうち$2$平面$z=h\text{，}z=1$の間にある部分の体積を$v(h)$とするとき，$K$の体積$V$は，$V=\underset{h\to +0}{\lim }v(h)$により計算される．$V$の値を求めよ．必要ならば【１】(3)の結果を使ってもよい．