2011　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　座標平面において，点$\mathrm{P}(x,y)$が次の連立不等式

$|x|\leqq 2\text{，}|y|\leqq 2\text{，}y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

で表される領域内を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　点$\mathrm{P}$の座標が$(\boxed{\text{ア}},-\boxed{\text{イ}})$のとき，$2|x|-3|y|$は最小値$-\boxed{\text{ウ}}$をとる．

(b)　点$\mathrm{P}$の座標が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$のとき，${(x-1)}^2+{(y-3)}^2$は最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$をとる．

(c)　点$\mathrm{P}$の座標が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$のとき，$2{(x-1)}^2+{(y-3)}^2$は最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　投げたときに，表の出る確率と裏の出る確率が等しくない特殊な硬貨がある．ただし，表の出る確率と裏の出る確率はどちらも$0$でない．この硬貨を$4$回続けて投げたとき表がちょうど$1$回出る確率と，この硬貨を$4$回続けて投げたとき表がちょうど$2$回出る確率が等しい．以下の問いに答えなさい．

(a)　この硬貨を$1$回投げたとき表が出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　この硬貨を$1$回投げ，表が出れば$3$点，裏が出れば$1$点が得られるゲームを行う．この硬貨を続けて$3$回投げたとき，得られる点数の和の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\alpha \text{，}\beta$が

$3{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta =2\sin \alpha$

を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$\sin \alpha$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}\leqq \sin \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(b)　${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{エ}}\leqq {\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(c)　$-\sqrt{2}{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha +\sqrt{2}{\cos }^2\alpha$のとりうる値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\leqq -\sqrt{2}{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha +\sqrt{2}{\cos }^2\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　行列$A$を，$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -3\end{array}\right)$により定める．

(a)　$A^2+aA+bE=O$となる実数$a\text{，}b$を求めなさい．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(b)　$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$t$を媒介変数として，$\{\begin{array}{l}x=e^t\\ y=e^{-t^2}\end{array}$で表される曲線を$C$とする．ここで，$e$は自然対数の底である．

(a)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$および${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$t$の式で表しなさい．

(b)　曲線$C$上の$t=1$に対応する点における接線の方程式を求めなさい．

【３】　座標平面において，$2$点$(1,1)\text{，}(-1,3)$を通る放物線$y=a{x}^2+bx+c$を考える．ただし，$a<0$とする．

(1)　放物線の頂点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　放物線と$x$軸との$2$つの交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$および頂点$\mathrm{P}$より作られる$▵\mathrm{PAB}$が正三角形になるような$a$の値を求めなさい．また，そのときの三角形の$1$辺の長さを求めなさい．

(3)　$a$が$a<0$の範囲を動くとき，放物線と$x$軸によって囲まれる部分の面積が最小になるような$a$の値を求めなさい．