2011　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$a$を実数の定数として，$f(x)=2a\tan x-{\tan }^{2}x-2a$とおく．

(a)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすすべての実数$x$に対して，$f(x)<1$が常に成り立つとき，$a$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}<a<\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

である．

(b)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすすべての実数$x$に対して，$f(x)<1$が常に成り立つとき，$a$のとりうる値の範囲は

$a\geqq -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　すべての実数$x$の値において微分可能な関数$f(x)$は次の$2$条件を満たすものとする．

・すべての実数$x\text{，}y$に対して$f(x+y)=f(x)+f(y)+8xy$

・$f^{\prime }(0)=3$

　ここで，$f^{\prime }(a)$は関数$f(x)$の$x=a$における微分係数である．

　以下の問いに答えなさい．

(a)　$f(0)=\boxed{\text{ア}}$

(b)　$\underset{y\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(y)}{y}}=\boxed{\text{イ}}$

(c)　$f^{\prime }(1)=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\text{，}{f}^{\prime }(-1)=-\boxed{\text{オ}}$

(d)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数字があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　面積が$1$である$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{N}$をとり，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$として$▵\mathrm{PMN}$の面積について考える．$▵\mathrm{OMN}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$s={\displaystyle \frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}}$として，以下の問いに答えなさい．

(a)　$▵\mathrm{PMN}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}s-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{s}}$である．

(b)　$▵\mathrm{OMN}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$という条件を満たしながら，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$が動くとき，$▵\mathrm{PMN}$の面積が最大になるのは$s={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のときである．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　座標平面において，$x$座標と$x$座標がともに整数である点$(x,y)$を格子点という．以下，条件

(＊)　${\log }_{3}y-{\log }_{3}x\leqq x$（ただし$x>0\text{，}y>0$）

を満たす格子点について考える．

(a)　$x=1$かつ条件(＊)を満たす格子点の個数を求めなさい．

(b)　$x\leqq 3$かつ条件(＊)を満たす格子点の個数を求めなさい．

(c)　$n$を自然数とする．このとき，$x\leqq n$かつ条件(＊)を満たす格子点の個数を$n$を用いて表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　曲線${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$上の点$(2,{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})$における接線の方程式を求めなさい．

【３】　座標平面において，定点$\mathrm{A}(0,1)$と直線$y=3$に対して，条件$\mathrm{AP}+d=4$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を考える．ただし，$\mathrm{AP}$は$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$間の距離であり，$d$は点$\mathrm{P}$と直線$y=3$の距離である．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の軌跡によって囲まれた部分の面積を求めなさい．

(3)　直線$y=x+m$と点$\mathrm{P}$の軌跡が異なる$2$点で交わるとき，実数$m$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(4)　$k$を正の実数とすると，直線$y=kx+1$と点$\mathrm{P}$の軌跡は異なる$2$点で交わる．これらの交点を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{BC}$の長さを$k$を用いて表しなさい．