2011　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施

【１】　自然数$n$に対して，$n$の約数の個数を$D(n)\text{，}n$の約数の総和を$S(n)\text{，}n$の各約数の逆数の総和を$R(n)$と書く．例えば$n=6$のとき，$6$の約数は$1\text{，}2\text{，}3\text{，}6$であるから$D(6)=4\text{，}S(6)=12\text{，}R(6)=2$である．

　$n$が$128\text{，}243\text{，}128\times 243$の場合に$D(n)\text{，}S(n)\text{，}R(n)$をそれぞれ求めると，

$D(128)=\boxed{\text{ア}}$

$S(128)=\boxed{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}$

$R(128)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}}$

$D(243)=\boxed{\text{サ}}$

$S(243)=\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}$

$R(243)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}}}$

$D(128\times 243)=\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$

$S(128\times 243)=\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}$

$R(128\times 243)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}\text{ホ}\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}\text{ム}\text{メ}\text{モ}}}}$

である．

【２】

$f(\theta )=\cos 3\theta +(1-\sqrt{3})\cos \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$

とする．

(1)　$x=\cos \theta$とおくと，$0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき$x$のとりうる値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}<x<\boxed{\text{ウ}}$

である．また，$f(\theta )$は$x$を用いて，

$\boxed{\text{エ}}{x}^3-(\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}})x$

と表される．

(2)　$f(\theta )$が極小となるとき

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{2}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{6}}{12}}$

で$f(\theta )$の極小値を$m$とおくと

$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$

である．

(3)　$a$を定数として，方程式$f(\theta )+a=0$を考える．$0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$に解がちょうど$2$個存在する定数$a$の範囲は

$-\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{チ}}}<a<-m$

である．

【３】　すべて同じ大きさの赤球$4$個と白球$2$個が入っている箱がある．この箱の中から，同時に$3$個の球を取り出し，球の色を調べた後，箱に戻すという試行を繰り返し行う反復試行を考える．

(1)　$1$回の試行で，取り出した球の中に含まれる白球の個数を$k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$とする．$k=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$k\geqq 1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，$k=\boxed{\text{オ}}$となる確率が最大で，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

　取り出した球の中に白球が$2$個含まれるという事象が$2$回起こった場合には，それ以上の試行は行わず反復試行を終了する．また，行った試行の回数が$5$となった場合には，$6$回目の試行は行わず反復試行を終了するものとする．

(2)　反復試行を終了するまでの試行の回数が$3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}}$である．

(3)　反復試行を終了するまでの試行の回数が$4$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}}$である．

(4)　反復試行を終了するまでの試行の回数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}}}$である．

【４】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}0\leqq a<b\text{）}$に対して，$L(a,b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．

(1)　

${\displaystyle \frac{{L(a,b)}^6}{{S(a,b)}^2}}=\boxed{\text{ア}\text{イ}}{(a^2+\boxed{\text{ウ}}ab+b^2+\boxed{\text{エ}})}^{\boxed{\text{オ}}}$

である．

(2)　$0<a<b$に対して，

${\displaystyle \frac{S(a,b)}{S(0,a)}}={\displaystyle \frac{{(b-a)}^{\boxed{\text{カ}}}}{a^{\boxed{\text{キ}}}}}$

である．

(3)　$0<a<b\text{，}L(0,a)=L(a,b)$とすると，

$a={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{\boxed{\text{ク}}{b}^4+\boxed{\text{ケ}}{b}^2+\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}b}}$

であり，

${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{\boxed{\text{シ}}{b}^4+\boxed{\text{ス}}{b}^2+\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}{b}^2+\boxed{\text{タ}}}}$

である．