2011　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$で定義された関数

$f(\theta )=8{\sin }^3\theta -3\cos 2\theta -12\sin \theta +7$

は，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$のときに最大値$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$をとり，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi$（順不同）のときに最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$をとる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　以下の行列$A\text{，}P$を考える．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 3\end{array}\right)$

(ⅰ)　

$P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{サ}}}}\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{シ}}& -\boxed{\text{ス}}\\ \boxed{\text{セ}}& \boxed{\text{ソ}}\end{array}\right)\text{，}{P}^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}-\boxed{\text{タ}}& 0\\ 0& \boxed{\text{チ}}\end{array}\right)$

である．

(ⅱ)　$x_1\text{，}{y}_1$を実数として，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$および$\{u_n\}\text{，}\{v_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，

$u_{n+1}=-\boxed{\text{ツ}}{u}_n\text{，}{v}_{n+1}=\boxed{\text{テ}}{v}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．$x_n\text{，}{y}_n$を$u_n\text{，}{v}_n$で表すと，

$x_n=\boxed{\text{ト}}{u}_n+\boxed{\text{ナ}}{v}_n\text{，}{y}_n=-\boxed{\text{ニ}}{u}_n+\boxed{\text{ヌ}}{v}_n$

であるから，たとえば，$x_n=1\text{，}{y}_n=-2$のときには，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$であり，$x_1=2\text{，}{y}_1=1$のときには，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　整数$l\text{，}m\text{，}n$についての連立方程式

$\begin{array}{llll}7l& =& 4m+3& \cdots \text{①}\\ lm& =& 139-28n^2+l+m& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．まず$\text{①}$を満たす整数$l\text{，}m$は必ず，ある整数$k$を用いて

$\begin{array}{lll}l& =& \boxed{\text{フ}}k+1\\ m& =& \boxed{\text{ヘ}}k+\boxed{\text{ホ}}\end{array}$

と表される．逆に，この形で書ける$l\text{，}m$は$\text{①}$を満たしている．これらを$\text{②}$に代入することにより，$\text{①}\text{，}\text{②}$を満たす整数の組$(l,m,n)$は全部で$\boxed{\text{マ}}$通りあることがわかる．そのうち$l\text{，}m\text{，}n$のすべてが正であるものは$2$通りあり，$(l,m,n)=(\boxed{\text{ミ}},\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}})\text{，}(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}\text{ユ}},\boxed{\text{ヨ}})$である．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=x+(1+x)\log (1+x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

と定める．$\log$は自然対数を表す．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を計算し，$0\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．ここで，$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$は，それぞれ$f(x)$の第$1$次導関数および第$2$次導関数を表す．

(2)　$xy$平面において，曲線$y=f(x)\text{，}x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=n{x}^n+{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n\log {(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n\text{（}x\geqq 0\text{）}$

と定める．$xy$平面において，曲線$y=f_n(x)\text{，}x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_n$とおく．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

　ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$を用いてよい．$e$は自然対数の底である．

【３】　$2$次の多項式$P(x)\text{，}Q(x)\text{，}R(x)$をそれぞれ

$P(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-x)\text{，}Q(x)=-x^2+1\text{，}R(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+x)$

とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$において$P(x)\text{，}Q(x)\text{，}R(x)$がとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ．

(2)　$f(x)$が$2$次以下の多項式ならば，恒等式

$f(x)=f(-1)P(x)+f(0)Q(x)+f(1)R(x)$

が成り立つことを示せ．

　さて$a\text{，}b\text{，}c$を実数として，$f(x)=aP(x)+bQ(x)+cR(x)$とする．$a\text{，}b\text{，}c$を次の条件を満たすように動かす．

（条件）　$\{\begin{array}{l}0\leqq f(-1)\leqq 1\\ 0\leqq f(0)\leqq 1\\ 0\leqq f(1)\leqq 1\end{array}$

このとき，$xy$平面において関数$y=f(x)$のグラフが通ることのできる部分を$D$とおく．

(3)　$xy$平面において，$D$のうち$x$座標が$0\leqq x\leqq 1$の範囲にある部分の面積を求めよ．