2011　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正方形を$A_1$とし，その各辺の中点を頂点とする正方形を$A_2\text{，}$同様に$A_2$の各辺の中点を頂点とする正方形を$A_3\text{，}$以下，$A_k$の各辺の中点を頂点とする正方形を$A_{k+1}$として，正方形の列$A_1\text{，}{A}_2\text{，}{A}_3\text{，}\cdots$を考える．

(ⅰ)　$A_1$から$A_8$までの正方形の周囲の長さの和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{4}}(\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}})$である．

(ⅱ)　$A_1$から$A_8$までの正方形の面積の和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$1$から$9$までの$9$個の数字を考える．これらの数字の中から異なる$5$個の数字を取り出して$5$桁の正の整数$m$を作る．

(ⅰ)　$m$が偶数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(ⅱ)　$m$の$1$桁目，$3$桁目，$5$桁目の数字は偶数で，$2$桁目，$4$桁目の数字は奇数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}$である．なお，$1$桁目は一の位，$2$桁目は十の位，$3$桁目は百の位，…を表す．

(ⅲ)　$m$が，奇数の数字と偶数の数字が交互に並んだ整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}$である．

(ⅳ)　$m$が$89823$より大きい整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$a\text{，}b$を$0$でない実数として，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -ab\\ a& 2\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

を考える．

(ⅰ)　$AB=BA$のとき$b=\boxed{\text{ナ}}$である．

(ⅱ)　$A^3$が単位行列$E$の実数倍になるのは，$a^{2}b=\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}$のときであり，このとき，

$A^3=-\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}E$

となる．

(ⅲ)　$AB=BA$で$A^3$が単位行列$E$の実数倍であるとき，

${(A+B)}^3+{(A-B)}^3=-\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}}E-\boxed{\text{ヘ}}A$

となる．

【２】　定数$a\text{（}a<1\text{），}b\text{，}c$に対し，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+b)x-a+c$

と定める．曲線$C:y=f(x)$は点$\mathrm{A}(1,3)$を通り，点$\mathrm{A}$において直線$l:y=2x+1$と接しているとする．曲線$C$と直線$l$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．

(1)　$b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S_1$を，$a$を用いて表せ．

(4)　$x$が$a<x<1$の範囲を動くとき，$3$点$\mathrm{P}(x,f(x))\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が作る三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を$S_2$とする．$S_2$と，(3)で求めた面積$S_1$に対して，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は$0<a<b$を満たす正の実数として，定積分$I_1\text{，}{I}_2\text{，}{I}_3$を

$I_1={\displaystyle {\int }_a^b}\sin (x^2)dx\text{，}{I}_2={\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{\cos (x^2)}{x^2}}dx\text{，}{I}_3={\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x^4}}dx$

と定める．

(1)　${\displaystyle {\int }_a^b}\sin (x^2)dx={\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{2x}}\cdot 2x\sin (x^2)dx$と変形してから部分積分法を利用することにより，$I_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_2$の値を，$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$I_2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{I}_3$の値を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　正の整数$n$に対して

$K_n={\displaystyle {\int }_{\sqrt{2n\pi }}^{\sqrt{2(n+1)\pi }}}\sin (x^2)dx+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle {\int }_{\sqrt{2n\pi }}^{\sqrt{2(n+1)\pi }}}{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x^4}}dx$

と定めるとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }2n\pi \sqrt{2n\pi }{K}_n$

の値を求めよ．