2011　上智大学　理工学部B方式2月10日実施

【１】

(1)　立方体の各面に$1$〜$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．$x$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【１】

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}5& 11\\ 3& 7\end{array}\right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,-2)$は点$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$に移り，点$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$は点$(3,1)$に移る．

【１】

(3)　$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，

$\mathrm{A}=\{x|f(x)>0\}\text{，}\mathrm{B}=\{x|x>1\}$

とする．次が成り立つ．

• $1\boxed{\text{あ}}\mathrm{A}$，
• $5\boxed{\text{い}}\mathrm{A}$，
• $\mathrm{A}\boxed{\text{う}}\mathrm{B}$

　また，正の整数$a$に対して，

$\mathrm{C}=\{x|0\leqq x\leqq a\}$

とする．$\mathrm{A}\supset \mathrm{C}$となる最も大きい整数$a$は$a=\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　底面の円の半径が$3\mathrm{cm}\text{，}$高さが$6\mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}\text{，}$底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1\text{，}\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3\pi \mathrm{cm}$／秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \mathrm{cm}$／秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．

(1)　$\mathrm{A}$の角速度は$\boxed{\text{コ}}\pi$ラジアン／秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\pi$ラジアン／秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと

$\sqrt{\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t}\mathrm{cm}$

である．

(3)　$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t$

である．

(4)　三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと

$\sqrt{\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{2}}t}{\mathrm{cm}}^2$

である．

(5)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$l$とし，$l$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\mathrm{cm}$

である．

【３】　座標平面において，動点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が時刻$t$の関数として

$x=t^{\frac{1}{4}}{(1-t)}^{\frac{3}{4}}\text{，}y=t^{\frac{3}{4}}{(1-t)}^{\frac{1}{4}}\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

で与えれられている．

(1)　動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$のときであり，$y$座標が最大になるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$のときである．

(2)　$0<t<1$のとき，動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(3)　動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$のとき，$t=1$のときの$3$回である．

(4)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする．$L$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【４】　実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{x}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて

$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3\text{，}\cdots$

とする．

(1)　$n_5=\boxed{\text{マ}}$である．

(2)　自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$\boxed{\text{ミ}}$個ある．

(3)　自然数$m$に対して，

$S_m={\displaystyle \sum _{i=1}^m}{n}_i$

とおく．$k\geqq 1$のとき，$S_{3k-2}\text{，}{S}_{3k-1}\text{，}{S}_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}\text{，}{S}_{3k-1}\text{，}{S}_{3k}$の順に$\boxed{\text{ム}}\text{，}\boxed{\text{メ}}\text{，}\boxed{\text{モ}}$である．また，$S_{3k-2}\text{，}{S}_{3k-1}\text{，}{S}_{3k}$は共通の因数$(k+\boxed{\text{ヤ}})$をもつ．

(4)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．