2011　上智大学　看護学科2月9日実施

【１】

(1)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき

${\displaystyle \frac{1}{a+b}}+{\displaystyle \frac{1}{a-b}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

である．

【１】

(2)　実数$x\text{，}y$が

$4x+y=1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

を満たしながら変化するとき，$xy$は$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．

【１】

(3)　$7^5$の$1$の位の数字は$\boxed{\text{コ}}$であり，$7^{2011}$の$1$の位の数字は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=7$の$▵\mathrm{ABC}$がある．

(1)　$\angle \mathrm{B}=\boxed{\text{シ}}\mathrm{°}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=3$となる点$\mathrm{D}$をとり，$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，$\angle \mathrm{AEC}=\boxed{\text{タ}}\mathrm{°}\text{，}\mathrm{CD}=\boxed{\text{チ}}$である．

(4)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$である．

(5)　$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(6)　$\angle \mathrm{AEC}$の二等分線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とすると，$\mathrm{AF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}\mathrm{EF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【３】

(1)　$1$から$10$の整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚のカードを取り出す．

(ⅰ)　$2$枚のカードの数の合計が偶数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

(ⅱ)　$2$枚のカードの数の合計が$5$の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【３】

(2)　$10$本のくじが入っている箱があり，そのうち$3$本が当たりくじである．

(ⅰ)　同時に$2$本のくじを引いたとき，ちょうど$1$本が当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\text{，}$同時に$3$本のくじを引いたとき，ちょうど$1$本が当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

(ⅱ)　赤玉が$1$個，青玉が$2$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤であれば，箱から同時に$3$本，青であれば同時に$2$本，白であれば$1$本のくじを引く．このとき，ちょうど$1$本が当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\text{，}$少なくとも$1$本が当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．