2011　上智大学　経済学部2月9日実施

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$は整数で，$a\geqq 1\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0$とする．$x$の$2$次式$P(x)=a{x}^2+bx+c$を考える．

(1)　$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で$\boxed{\text{ア}}$個存在する．

(2)　条件：

『$P(n)=5$を満たす自然数$n$が存在する』

を満たす$P(x)$は全部で$\boxed{\text{イ}}$個存在する．このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは

$P(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

である．

(3)　条件：

『$P(n)=3$を満たす自然数$n$が存在し，かつ，任意の自然数$m$に対して$P(m)$が奇数である』

を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは

$P(x)=\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$

であり，$a$が最小のものは

$P(x)=\boxed{\text{ケ}}{x}^2+\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}$

である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=4\text{，}\tan {\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\tan {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(2)　$\sin B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}\sin C={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(3)　$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

【３】　$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,0,1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．

(1)　$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$z$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{C}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

(3)　$\mathrm{O}$を端点とし$▵\mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$\boxed{\text{ホ}}$である．

　以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_{\mathrm{P}}$で表す．

(4)　$▵\mathrm{APB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(5)　(3)で$▵\mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_{\mathrm{P}}$を定めたときと同様に，$▵\mathrm{ACD}\text{，}▵\mathrm{ABD}\text{，}▵\mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{T}$および四面体$V_{\mathrm{Q}}\text{，}{V}_{\mathrm{R}}\text{，}{V}_{\mathrm{T}}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_{\mathrm{P}}\text{，}{V}_{\mathrm{Q}}\text{，}{V}_{\mathrm{R}}\text{，}{V}_{\mathrm{T}}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$\boxed{\text{ム}}$であり，$V$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$である．