2011　慶応義塾大学　環境情報学部

【１】

(1)　関数${\displaystyle \frac{1}{4}}\cos 3\theta$を$x=\cos \theta$に関する多項式で表すと

$\boxed{\text{(1)}}{x}^3-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}}}x$

となる．この多項式を$f(x)$とすると，$|f(x)|$の$-1\leqq x\leqq 1$での最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}}$である．

【１】

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$を自然数とし

$x^2+y^2+z^2=3xyz$

をみたす解$(x,y,z)$を数える．$(a,b,c)$が解のとき，$(a^{\prime },b,c)\text{（}{a}^{\prime }>a\text{）}$となる解を$(a,b,c)$の子という．同様に$(a,b^{\prime },c)\text{（}{b}^{\prime }>b\text{）}$となる解と$(a,b,c^{\prime })\text{（}{c}^{\prime }>c\text{）}$となる解も$(a,b,c)$の子である．たとえば解$(2,5,1)$に対して解$(\boxed{\text{(6)}\text{(7)}},5,1)$と解$(2,5,\boxed{\text{(8)}\text{(9)}})$はその子である．$(1,1,1)$を第$1$世代とし，その子を第$2$世代とする．一般に第$n$世代の子を第$n+1$世代とする．第$7$世代の解の個数は$\boxed{\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}}$である．

【２】　$2$つの企業$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同じ飲料を生産し販売している．両企業とも$x$リットルを生産するのにかかる費用は$cx\text{（}c>0\text{）}$とする．また企業$\mathrm{A}$が$x$リットル販売し，企業$\mathrm{B}$が$y$リットル販売するときの$1$リットルあたりの価格は$p=a-b(x+y)$とする．ただし$a>c>0\text{，}b>0\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$とし，$x+y\geqq {\displaystyle \frac{a}{b}}$のときは$p=0$とする．

　解答欄には選択肢から空欄に入れるもっとも適切なものを選び，その番号を答えなさい．

(1)　企業$\mathrm{B}$は企業$\mathrm{A}$が$x$リットル生産するものと仮定して利益$py-cy$を最大にするように$y$を決める．$x>{\displaystyle \frac{a-c}{b}}$のとき，$y=\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}$であり，$x\leqq {\displaystyle \frac{a-c}{b}}$のとき，$y=\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}$である．

(2)　企業$\mathrm{A}$は企業$\mathrm{B}$が(1)のような販売戦略をとることを知った．その上で利益$px-cx$を最大にするように$x$を決めると$x$は$\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}$となる．

(3)　(1)，(2)の状況下で価格$p$は$\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}$となる．

[選択肢]

• (01)　$0$
• (02)　$1$
• (03)　$2$
• (04)　${\displaystyle \frac{a+bx+c}{2b}}$
• (05)　${\displaystyle \frac{a+bx-c}{2b}}$
• (06)　${\displaystyle \frac{a-bx-c}{2b}}$
• (07)　${\displaystyle \frac{b-a}{2b}}$
• (08)　${\displaystyle \frac{a-c}{2b}}$
• (09)　${\displaystyle \frac{c-b}{2b}}$
• (10)　${\displaystyle \frac{a+c}{4}}$
• (11)　${\displaystyle \frac{a+2c}{4}}$
• (12)　${\displaystyle \frac{a+3c}{4}}$
• (13)　${\displaystyle \frac{2a+c}{4}}$
• (14)　${\displaystyle \frac{3a+c}{4}}$
• (15)　${\displaystyle \frac{a+c}{2}}$

【３】　座標平面で$x$軸上の$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$をとり，$k$を$0$でない実数とする．直線$y=k(x+2)$と放物線$y=x^2-1$が異なる$2$点で交わるとし，その異なる交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$の交点の座標を$(p,q)$とすれば

$q=\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}p+\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}$

である．また$p$の取りうる範囲は

$\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}+\sqrt{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}<p<0\text{，}0<p<\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}$

である．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の$6$都市があり$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ物資$\mathrm{X}$が移送される．ただし移送経路は右図のようになっており，$2$つの都市間の移送時間と移送率は下表のようになっている．時刻$t$は$1$時間刻みとし$t$は整数とする．例えば「区間$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$　時間$2$　率${\displaystyle \frac{1}{6}}$」は，$\mathrm{A}$にある物資$\mathrm{X}$の${\displaystyle \frac{1}{6}}$の量が直ちに$\mathrm{B}$に移送が開始され，$2$時間後に$\mathrm{B}$に移送されることを意味する．また$\mathrm{C}$から始まる区間が「$\mathrm{C}\to \mathrm{D}$」と「$\mathrm{C}\to \mathrm{E}$」とあることは，$\mathrm{C}$に移送された物資$\mathrm{X}$が直ちに$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$に移送されることを意味する．

• 区間	時間	率
  $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$	$2$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$
  $\mathrm{A}\to \mathrm{C}$	$1$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$
  $\mathrm{A}\to \mathrm{D}$	$1$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$

• 区間	時間	率
  $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$	$1$	$1$
  $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$	$1$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$
  $\mathrm{C}\to \mathrm{E}$	$1$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$

• 区間	時間	率
  $\mathrm{D}\to \mathrm{F}$	$1$	$1$
  $\mathrm{E}\to \mathrm{D}$	$2$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$
  $\mathrm{E}\to \mathrm{F}$	$1$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$

　時刻$t=0$に$90$トンの物資$\mathrm{X}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ移送が開始された．ただし移送する前には物資$\mathrm{X}$は$\mathrm{F}$に存在しないとする．時刻$t$で$\mathrm{F}$に存在する物資$\mathrm{X}$の量を$f(t)$トンとするとつぎのようになる．

$f(t)=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}& \text{（}0\leqq t<\boxed{\text{(33)}}\text{）}\\ \boxed{\text{(34)}\text{(35)}}& \text{（}\boxed{\text{(33)}}\leqq t<\boxed{\text{(36)}}\text{）}\\ \boxed{\text{(37)}\text{(38)}}& \text{（}\boxed{\text{(36)}}\leqq t<\boxed{\text{(39)}}\text{）}\\ \boxed{\text{(40)}\text{(41)}}& \text{（}t\geqq \boxed{\text{(39)}}\text{）}\end{array}$

【５】　$S_0(x)=x(1+x+x^2)\text{，}{S}_{k+1}(x)=x{\displaystyle \frac{d}{dx}}{S}_k(x)\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$とする．ここで${\displaystyle \frac{d}{dx}}{S}_k(x)$は$S_k(x)$の導関数である．このとき

$S_3(x)=\boxed{\text{(101)}}x+\boxed{\text{(102)}}{x}^2+\boxed{\text{(103)}\text{(104)}}{x}^3$

である．また

${\displaystyle \sum _{r=1}^3}r(r+1)(r+2)x^r$$=\boxed{\text{(105)}}{S}_1(x)$$+\boxed{\text{(106)}}{S}_2(x)$$+\boxed{\text{(107)}}{S}_3(x)$

と書ける．

【６】　差が$2$である素数の組を双子素数とよぶ．たとえば，$3$と$5\text{，}5$と$7\text{，}11$と$13$などが双子素数である．つぎのプログラムは，$1000$未満の双子素数（両方の素数が$1000$未満）を求めるプログラムである．

　解答欄には選択肢から空欄に入れるもっとも適切なものを選び，その番号を答えなさい．

• 100 LET P = 3
• 110 LET Q = $\boxed{\text{(201)}\text{(202)}}$
• 120 IF Q >= 1000 THEN GOTO 220
• 130 LET R = $\boxed{\text{(203)}\text{(204)}}$
• 140 IF R >= P THEN GOTO $\boxed{\text{(205)}\text{(206)}}$
• 150 IF INT(P / R) * R = P THEN GOTO 200
• 160 IF INT(Q / R) * R = Q THEN GOTO 200
• 170 LET R = $\boxed{\text{(207)}\text{(208)}}$
• 180 GOTO $\boxed{\text{(209)}\text{(210)}}$
• 190 PRINT P , Q
• 200 LET P = $\boxed{\text{(211)}\text{(212)}}$
• 210 GOTO $\boxed{\text{(213)}\text{(214)}}$
• 220 END

[選択肢]

• (01)　P
• (02)　Q
• (03)　R
• (04)　1
• (05)　2
• (06)　3
• (07)　P + 2
• (08)　Q + 2
• (09)　R + 2
• (10)　100
• (11)　110
• (12)　120
• (13)　130
• (14)　140
• (15)　150
• (16)　160
• (17)　170
• (18)　180
• (19)　190
• (20)　200
• (21)　210
• (22)　220
• (23)　230
• (24)　240