2011　青山学院大学　経済学部

【１】(1)　$2$次方程式$x^2-2mx+(m+2)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．

１.　$\alpha >\beta >1$となるのは$\text{ア}<m<\text{イ}$の場合である．

２.　$\alpha >1>\beta$となるのは$m>\text{ウ}$の場合である．

【１】(2)　$2^{x-1}+2^{-x}=t$のとき，$2^{2x-2}+2^{-2x}$は，$t$を用いて表すと，

$f(t)=a{t}^2+bt+c$$\text{（}t\geqq d\text{）}$

となる．ここで$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}\text{，}$$c=\text{ウエ}\text{，}$$d=\sqrt{\text{オ}}$である．$f(t)$は，$t=\sqrt{\text{カ}}$のとき，最小値$\text{キ}$をとる．

【１】(3)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

１.　 ${\displaystyle \frac{n}{100}}<{\log }_{10}5<{\displaystyle \frac{n+1}{100}}$をみたす自然数$n=\text{アイ}$である．

２.　${15}^{10}$の桁数は$\text{ウエ}$である．

３.　${\left({\displaystyle \frac{1}{18}}\right)}^{10}$は，小数第$\text{オ力}$位に初めて$0$でない数字が現れる．

【２】(1)　実数$s\text{，}$$t$$\text{（}s>0\text{）}$に対して，記号を$F_{s,t}=s^t+s^{-t}\text{，}$$G_{s,t}=s^t-s^{-t}$と定める．

１.　$F_{s,t}=3$のとき$F_{4,t}=\text{ア}\text{，}$$F_{8,t}=\text{イウ}$である．

２.　$G_{2,t}=2$のとき$F_{2,t}=\text{エ}\sqrt{\text{オ}}\text{，}$$G_{4,t}=\text{カ}\sqrt{\text{キ}}$である．

３.　$F_{s,1}=3$のとき$F_{s,3}=\text{クケ}\text{，}$$F_{s,6}=\text{コサシ}$である．

【２】(2)　円$x^2+y^2=1$と直線$y=k(x+2)$は相異なる$2$つの共有点 $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもつ．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

１.　$k$のとりうる値の範囲は$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}<k<{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}}}$である．

２.　$\mathrm{M}$の座標を$(x,y)$とすると，$x$の範囲は${\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}<x<\text{ク}$である．また$y$の範囲は$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}<y<{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}$である．

【２】(3)　放物線$y=x^2-2x+2$において，点$(2,-2)$を通る接線は，傾きが正の方程式が

$y=\text{ア}x-\text{イウ}\text{，}$このときの接点は$(\text{エ},\text{オカ})\text{，}$

傾きが負の方程式が

$y=-\text{キ}x+\text{ク}\text{，}$このときの接点は$(\text{ケ},\text{コ})$

である．この$2$つの接線のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シス}}}$である．

【３】(1)　直線$4x-3y=4$と$x$軸に接して，点$(4,1)$を通る円のうち，半径が最小となる円の方程式は

${(x-\text{ア})}^2+{(y-\text{イ})}^2=\text{ウ}$

である．

【３】(2)　$3$本の直線$x=0\text{，}$$y=0$および$x+2y=8$で囲まれた$3$角形の周上において，

$z=\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{8}}\cos {\displaystyle \frac{\pi y}{4}}+\cos {\displaystyle \frac{\pi (x+2y)}{8}}$

の最大値と最小値を考える．

１.　$z$は$(x,y)=(\text{ア},\text{イ})$において最大値$\sqrt{\text{ウ}}$をとる．

２.　$z$は$(x,y)=(\text{エ},\text{オ})$において最小値${\displaystyle \frac{\text{カキ}}{\text{ク}}}$をとる．

【３】(3)　放物線$y=x^2$と直線$y=x+n$によって囲まれる領域を$D_n$とする．ただし，$n$は正の整数，$D_n$は境界を含むものとする．

１.　領域$D_n$の点$(x,y)$のうち，$x\text{，}$$y$がともに整数となる点の個数を$a_n$と表したとき，$a_1=\text{ア}\text{，}$$a_2=\text{イ}$である．

２.　$n$を$1$から順に大きくしていくとき，放物線と直線の$2$つの交点の$x$座標，$y$座標が，すべて整数となるような$n$は，値が小さい順に$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}\text{，}$$\text{オカ}\text{，}\cdots$である．

３.　有限数列$a_{20},a_{21},\cdots ,a_m$は，初項$a_{20}$が$\text{キクケ}\text{，}$公差が$\text{コサ}$の等差数列となる．このとき$m$の最大値は$\text{シス}$である．

【４】　図のような経路のある器具の$\mathrm{A}$に球を入れると，その球は各分岐で確率$p$で右の経路，確率$q$で左の経路に進み，最後に${\mathrm{B}}_0\text{〜}$${\mathrm{B}}_8$のいずれかに到達する．たとえばすべての分岐で右に進むとき，最後の到達点は${\mathrm{B}}_8$である．