2011　青山学院大学　社会情報学部B方式

2011-13301-0601

2月9日実施

易□　並□　難□

【１】(1)　等比数列

$2, - \frac{4}{3}, \frac{8}{9}, \dots$

の第 $n$ 項を $a_{n}$ とおく．このとき $a_{n}$ を $n$ で表すと $a_{n} = ア，$ また $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = イ$ である．

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易□　並□　難□

【１】(2)　 $\int_{0}^{\log 2} {(e^{x} + e^{- x})}^{2} dx = ウ$

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易□　並□　難□

【２】　円 $x^{2} + y^{2} = 1$ を $C_{1} ，$ 円 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ を $C_{2}$ とする．

(1)　円 $C_{1}$ と $C_{2}$ が共有点をもたないような $a$ の値の範囲を求めよ．

(2)　円 $C_{1}$ の，点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ における接線を $l$ とする．直線の方程式を求めよ．

(3)　円 $C_{2}$ が(2)で求めた接線 $l$ と接するような $a$ の値を求めよ．ただし， $a$ は(1)で求めた範囲にあるものとする．

(4)　 $a$ が(3)で求めた値をとるとき，円 $C_{1} ，$ $C_{2}$ の両方に接する直線をすべて求めよ．

2011-13301-0604

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易□　並□　難□

【３】　一つのさいころを投げ，出る目によって，数直線上の点 $P$ を次のように動かす．出る目が偶数のときには，その数だけ $P$ を正の方向に，また，出る目が奇数のときには，その数だけ $P$ を負の方向に動かす．ただし，点 $P$ は最初は原点にあるものとする．このとき

(1)　さいころを $2$ 回投げるとき，点 $P$ の座標が $3$ となる確率は $エ．$

(2)　さいころを $3$ 回投げるとき，点 $P$ が原点に戻る確率は $オ．$

(3)　さいころを $7$ 回投げるときの，点 $P$ の座標の期待値は $カ．$

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【４】　放物線 $y = 1 - x^{2}$ を $C$ とし， $C$ 上に点 $P$ $(a, 1 - a^{2})$ をとる．

(1)　点 $P$ における，放物線 $C$ の接線 $l$ の方程式を求めよ．

(2)　 $0 < a < 1$ のとき，放物線 $C ，$ 接線 $l$ および $y$ 軸で囲まれる部分の面積を $S_{1} ，$ 放物線 $C ，$ 接線 $l$ および $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S_{2}$ とし， $S = S_{1} + S_{2}$ とおく．このとき， $S$ を $a$ を用いて表せ．

(3)　 $a$ が $0 < a < 1$ の範囲を動くときの， $S$ の最小値を求めよ．

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【５】　曲線 $y = \cos x + 3$ 上に点 $P$ $(t, \cos t + 3)$ をとる．

(1)　点 $P$ を通り，点 $P$ における $y = \cos x + 3$ の接線に直交する直線を $l$ とする．直線 $l$ の方程式を求めよ．

(2)　直線 $l$ と $x$ 軸との交点を $Q$ とする．点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ．

(3)　点 $P$ が，曲線 $y = \cos x + 3$ 上の，点 $(- \frac{π}{2}, 3)$ から点 $(\frac{π}{2}, 3)$ までの範囲を動くとき，点 $Q$ は $x$ 軸上のどの範囲を動くか．

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