2011　青山学院大学　理工学部B方式

(1)　方程式$\sin 8\theta =0$の解の個数は$\text{ア}\text{イ}$である．

(2)　方程式$\cos 6\theta =0$の解の個数は$\text{ウ}\text{エ}$である．

(3)　方程式$\sin 14\theta +\sin 2\theta =0$の解の個数は$\text{オ}\text{カ}$である．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\overrightarrow{b}$である．

(2)　線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{\text{サ}\text{シ}}}(\text{ス}\overrightarrow{a}+\text{セ}\overrightarrow{b}+\text{ソ}\overrightarrow{c})$

である．

(3)　四面体$\mathrm{OAPC}$の体積は，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}}$倍である．

$f(x)=x^3+3t{x}^2+(4t^2-3t)x$

について，次の問に答えよ．ただし$t$は定数である．

(1)　$f(x)$が極大値と極小値をもつような$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)の範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が(1)の範囲にあるとき，$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\sin x-ax)}^2\mathit{dx}$

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$I(a)$を求めよ．

(3)　$a$が$a\geqq 0$の範囲を動くとき，$I(a)$の最小値を求めよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_n$を求めよ．

(3)　曲線上の点$(a_n,e^{-a_n})$における接線と，直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．