2011　青山学院大学　理工学部A方式

$f(x)=x(x-a)(x-b)-5$

とおく．$f(x)$は$(x-k)(x^2+lx+m)$の形に因数分解されるとする．ただし，$k\text{，}$$l\text{，}$$m$は整数で，$k>0$である．

(1)　$km=\text{ア}$である．このとき，$k$の値は$\text{イ}$または$\text{ウ}$である．ただし，$0<\text{イ}<\text{ウ}$とする．

(2)　条件を満たすような数の組$(a,b,k)$は

$(\text{エ},\text{オ},\text{カ})\text{，}$$(\text{キ},\text{ク},\text{ケ})\text{，}$$(\text{コ},\text{サ},\text{シ})$

である．

　ただし，$\text{エ}<\text{キ}<\text{コ}$とする．

(1)　袋から$2$個を同時に取り出すとき，その$2$個が同じ色である確率は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}}}$である．

(2)　袋から$3$個を同時に取り出すとき，そのうち$2$個だけが同じ色である確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}}}$である．

(3)　袋から$3$個を同時に取り出すとき，取り出した$3$個の色がすべて異なる確率は${\displaystyle \frac{\text{ト}\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}}}$である．

　ただし，定数$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある．

(1)　$a$および$c$の値を求めよ．

(2)　$b$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　関数$y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

(1)　直線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$l$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\log (y+1)\mathit{dy}$を求めよ．

(2)　水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．

(3)　水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率${\displaystyle \frac{\mathit{dh}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．