2011　自治医科大　看護学科

【１】〔1〕${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}$の分母を有理化すると${\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\text{ア}}}$であるから，この値の小数部分を$a$とすると，$8a^2+16a+4$$=\sqrt{\text{イウ}}+\text{エ}$である．

【１】〔2〕実数$a\text{，}$$b$が$a+b=4\text{，}$$a^2+b^2=14$を満たすとき，

$ab=\text{オ}\text{，}$$a^3+b^3=\text{カキ}$

である．

【１】〔3〕${\displaystyle \frac{30!}{3^n}}$が整数になる整数$n$のうちで最大の$n$の値は

$n=\text{クケ}$

である．

【１】〔4〕$x^2-y^2=32$を満たす自然数の組$(x,y)$は

$(\text{コ},\text{サ})$と$(\text{シ},\text{ス})$

である．ただし，$\text{コ}<\text{シ}$とする．

【２】〔1〕$k$を定数として，不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}x+k>|x-2|$$\cdots \text{(＊)}$

を考える．

(1)　$k=1$であるとき，不等式(＊)を解くと，

${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}<x<\text{ウ}$

である．

(2)　不等式(＊)は，

$k\leqq \text{エオ}$のとき解をもたず，

$k>\text{エオ}$のとき解をもち，その解は

${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}k$$<x<\text{コ}k+\text{サ}$

である．

【２】〔2〕$a$を$0$ではない定数とし，$x$の$2$次関数

$y=a{x}^2-6ax+a^2-10$$\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．

　グラフ$G$の頂点の座標は

$(\text{シ},a^2-\text{ス}a-\text{セソ})$

である．

(1)　$\text{①}$において，すべての実数$x$に対して$y>0$となるのは

$a>\text{タチ}$

のときであり，すべての実数$x$に対して$y<0$となるのは

$\text{ツテ}<a<\text{ト}$

のときである．

(2)　$b$を$7$より小さい定数とする．$2$次関数$\text{①}$が$b\leqq x\leqq 7$の範囲において$x=b$で最大値をとるための$a\text{，}$$b$の満たすべき条件は，

$a>\text{ナ}$かつ$b\leqq \text{ニヌ}$

または，

$a<\text{ナ}$かつ$\text{ネ}\leqq b<7$

であり，$x=7$で最小値をとるための$a\text{，}$$b$の満たすべき条件は，

$a<\text{ノ}$かつ$\text{ハヒ}\leqq b<7$

である．

　ただし，上記で$x=b$で最大値をとるというとき，$x=b$でだけでなく，$x=b$と$x=7$とで最大値をとったり，$x=7$で最小値をとるというとき，$x=7$でだけでなく，$x=7$と$x=b$とで最小値をとったりする場合も含めるものとする．

【３】〔1〕$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(1)　角$\theta$が

${\displaystyle \frac{1}{4}}+\sin \theta -{\cos }^2\theta =0$

を満たすとき，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$であるから，これを満たすすべての角の和は$\text{ウエオ}\mathrm{°}$である．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{1}{4}}+\sin \theta -{\cos }^2\theta >0$を満たす角の値の範囲は$\text{カ}$と表され，$p=\text{キク}\text{，}$$q=\text{ケコサ}$である．

　ただし，$\text{カ}$については，当てはまるものを下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{1}}0\mathrm{°}<\theta <p\mathrm{°}\text{，}q\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$$\overline{)\text{2}}0\mathrm{°}\leqq \theta <p\mathrm{°}\text{，}q\mathrm{°}<\theta \leqq 180\mathrm{°}$$\overline{)\text{3}}p\mathrm{°}<\theta <q\mathrm{°}$$\overline{)\text{4}}p\mathrm{°}\leqq \theta \leqq q\mathrm{°}$

【３】〔2〕$k\text{，}$$a$を正の定数とし，三角形$\mathrm{ABC}$において

$\mathrm{AB}=\sqrt{k}\text{，}$$\mathrm{BC}=a\sqrt{k}\text{，}$$\mathrm{CA}=2\sqrt{k}$

とする．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$\sqrt{5}$であるとき$a$および$k$の値は，

$a=\sqrt{\text{シ}}\text{，}$$k=\text{ス}$

である．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}$とする．このとき，$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とすると，$\cos \theta$は$k$を用いて

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{セ}k-\text{ソ}}{\text{タ}k}}$

と表される．

　また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると，$k$を用いて

$S={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{\text{チツ}{k}^2+\text{テト}k-\text{ナ}}$

と表されるから，$S$は

$k={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

をとる．

【４】〔1〕箱$\mathrm{A}$に，$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$3$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots \text{，}$$10$が書かれたカードが$1$枚，全部で$10$枚のカードが入っている．ただし，どのカードにも一つの数だけが書かれているものとする．

　箱$\mathrm{A}$からカードを$1$枚取り出し，書かれた数を記録して箱$\mathrm{A}$に戻すことを続けて$3$回行うものとする．記録した数を取り出した順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a<b<c$を満たす異なる組$(a,b,c)$は$\text{アイウ}$通りある．

(2)　$abc=180$を満たす異なる組$(a,b,c)$は$\text{エオ}$通りある．

(3)　$a-2b+c=0$を満たす異なる組$(a,b,c)$は$\text{カキ}$通りある．

【４】〔2〕$2$が記された面を二つ，$4$が記された面を二つ，$6$が記された面を二つもつサイコロがある．ただし，どの面にも一つの数だけが記されているものとする．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の二人がこのサイコロを$1$回ずつ振った結果

$\mathrm{A}$の目が$\mathrm{B}$の目より大きければ$\mathrm{A}$が勝ち，

$\mathrm{B}$の目が$\mathrm{A}$の目より大きければ$\mathrm{B}$が勝ち，

$\mathrm{A}$の目が$\mathrm{B}$の目と同じであれば，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とは引き分け

とする．

　これをゲーム$T$とする．

(1)　$1$回のゲーム$T$につき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$であり，$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$であり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$である．

(2)　$1$回のゲーム$T$につき，$\mathrm{A}$は，以下のルールにしたがって得点をするものとする．

ルール：$\mathrm{A}$が勝てば$10$点，$\mathrm{B}$が勝てば$-10$点，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ければ$3$点

　ゲーム$T$を続けて$4$回行うものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$がちょうど$2$回だけ勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタ}}}$である．

　$\mathrm{A}$の総得点が$-1$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツテ}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$の総得点の期待値は$\text{ト}$である．