2011　東北学院大学　後期工学部3月4日

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x^3+a{x}^2+4x+2$を$x^2-x-2$で割ったときの余りは$bx-2$である．このとき$(a,b)=\boxed{\text{（ア）}}$となる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは点$(1,0)$を通り，$x={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき最小値$-{\displaystyle \frac{1}{8}}$をとる．このとき$f(x)=\boxed{\text{（イ）}}$となる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$2^n$が$60$桁以上の整数となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．ただし${\log }_{10}2=00.3010$とする．

【２】　群数列$1|1\text{，}3|1\text{，}3\text{，}5|1\text{，}3\text{，}5\text{，}7|1\text{，}3\text{，}5\text{，}7\text{，}9|\cdots$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$200$項は第何群の第何番目の項となるか求めよ．

(ⅱ)　第$200$項から第$216$項までの和を求めよ．

(ⅲ)　初項から第$n$群の最後の項までの和を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=k\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\theta$を満たすとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{O}$から面$\mathrm{ABC}$におろした垂線の長さを$k$と$\theta$を用いて表せ．

【４】　関数

$f(x)=x^5{e}^{-\frac{5}{3}{x}^3}$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$a$とするとき${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx$を求めよ．