2011　東北学院大学　前期分割工(機械知能工,電子工学科)学部

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-Ax+B=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき${\alpha }^3\text{，}{\beta }^3$を$2$つの解にもつ$2$次方程式を$A\text{，}B$を用いて表すと$\boxed{\text{（ア）}}$となる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{5}}(\text{ただし}{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi <\theta <2\pi )$であるとき，$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{a}=(1,1,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,1,0)$とするとき$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$両方に垂直な単位ベクトルは$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　放物線$y=1-x^2$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線上の点$(a,1-a^2)\text{（}0<a<1\text{）}$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　放物線と(ⅰ)で求めた接線および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅲ)　放物線と(ⅰ)で求めた接線および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　不等式

$0\leqq {\log }_{10}y-{\log }_{10}(4-x)\leqq {\log }_{10}x$

を満たす$xy$平面上の領域を$D$とするとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$D$を図示せよ．

(ⅱ)　$D$の面積を求めよ．

(ⅲ)　$(x,y)$が$D$を動くときの，$x+y$の最大値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　和$1+x+x^2+\cdots +x^n$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた結果を$x$で微分することにより，和

$1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1}$

を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)を用いて無限級数の和

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{2^n}}$

を求めよ．